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ce qui donne, d’après les règles de la multiplication,

a c.xb ~ ~d.y

Or, multipliant ces deux quantités égales par d , l’é-galité ne sera pas détruite et deviendraa.d c.x

~b~ = ~T’

et, divisant actuellement par c, on obtiendra

a. d x

b. c ~y'

», . x a c , a c a.d . . . a.d

Mais — = -y : — , donc T : -, = -=— . Ainsi, comme -y —

y b d bd b.c b.c

est la même chose que il en résulte la règle

énoncée.

19. Si nous concevons une suite de nombres construitsà l’aide du second mode de génération, de la manièresuivante :

bres, nous allons donner la déduction de leurs proprié-tés principales.

Le produit de deux puissances A”*, B«, dont lesbases sont inégales, ne peut s’exprimer différemmentde celui de deux nombres quelconques ; mais lorsqueles bases sont égales, on a

A m X A* = A m + n ,

puisque le nombre des facteurs A est alors m -f- n.

Par la même raison ,

A m X A n X AP X A? X A r X etc. = A»»+n+p+?+r+etc.

21. La puissance m d’un produit a. b. c. d. c. etc.peut s’exprimer indifféremment par (a.b.c.d.e.ctc. ) met par a m .b m .c m .d m .e’ 11 . etc. C’est encore un résultatimmédiat de la construction des puissances.

22. La puissance m d’une fraction quelconque ^s’ob-tient en prenant les puissances du même degré de sesdeux termes; c’est-à-dire qu’on a

AXB=C, CXD=E,EXF=H , etc. etc... LxM=N,

en introduisant les facteurs de C dans la seconde éga-lité, ceux de E dans la troisième, et ainsi de suite deproche en proche jusqu’à la dernière, nous obtiendrons

A X B X D X F X etc. = N ;

expression qui nous apprend qu’un nombre peut êtreconstruit par une quantité quelconque de facteurs ; ceque nous pouvions déjà conclure de ce qui précède.Cette expression ne .nous présente donc aucune consi-dération nouvelle tant que les nombres A, B, D, F, etc.sont différens les uns des autres; mais , lorsque tous cesfacteurs sont égaux , la génération de leur produit, quenous désignerons par C, devient

AXAXAX AXA . =C,

et s’exprime d’une manière entièrement déterminée parla forme générale

A B = C.

B placé ainsi au-dessus de A désignant le nombre desfacteurs A. ( Voy. Notions hum. 8. )

Cette génération d’un nombre C, au moyen de deuxautres nombres A et B, est évidemment différente decelles qui résultent des deux premiers modes générauxde construction des nombres : A-}- B = C , AXH = C;elle constitue donc un mode nouveau dont l’examen vanous faire connaître de nouvelles opérations et de nou-velles espèces de nombres.

Sa branche inverse s’exprime par yC = A.

20. On nomme en général quantités exponentiellesles quantités dont la forme est A m , B' 1 , etc. Comme lesdiverses transformations dout elles sont susceptibles for-ment une partie impovxaui/K d** ^««"‘Uruction des nom-

© m a m

Ze» ’

En effet, on a cette suite d’identités :

© m a .a ,a ,, a.a.a .. etc. a m

= b X b * b * etC - b.b.b... etcT b™'

23. Le quotient de deux puissances quelconques^

s’exprime par À?—”. C’est une conséquence directe dela propriété 20 ; car , de l’égalité

A m X A n = A m + n

Am+n

on tire A m = — : - Faisons m 4- n = q, on aura m =

A" 7

q — n, et par conséquent

A?

AÂ

= A?—».

24. Il résulte plusieurs conséquences importantes decette dernière expression.

i°. Si les exposans q et n sont égaux, on a AV : Aî =A?

AV —ï = A» ; mais — = 1 : donc A 0 = 1. La puissance

zéro d’une quantité quelconque est donc égale à Vunité.

2 0 . Si dans la même expression on fait q = o, elledevient

A° 1 .

—- = — = A—".

An A n

Ainsi, une puissance dont l’exposant est négatif est égaleà l’unité divisée par cette même puissance, en faisantl’exposant positif.

25. Le produit et le quotient de deux puissances aexposans négatifs suit donc les mêmes lois que dans lecas des exposans positifs ; et l’on a

A—m

A-m x A-n — A-m-n , = A-«<+» ;