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On nomme ordinairement^/iaZ'ogv'ef de Neper , quatreformules découvertes parce géomètre pour la résolutiondes triangles sphériques. Ces formules, très-utiles dans lapratique, sont les suivantes :

tangj ( b -j- e) = cot J a Xtangi(Z> —<?) = cot-j «Xtang | (B+ C) = cot J A X

tang-i (B— C) = cot JA X

cos J (B — C)cos J (B -J- C)’

sin J (B— C)sin J (B -j- C) ’

cos J (b — c)cos J(ô +e)’sin J (b — c)

sin J {b + c)’

dans lesquelles A, B, C désignent les trois côtés d’un’riangle sphérique, et a, b, c les angles respectivementopposés à ces côtés.

Ces formules ont été données par Néper sans démons-tration , et l’on ignore comment il y avait été conduit.On les trouve indiquées dans son ouvrage posthumeintitulé : Mirifici logarithmorum canonis constructio;niais c’est Henri Briggs qui les a développées, et qui leura donné la forme sous laquelle nous venons de les pré-senter. Waillis est le premier qui les ait démontrées.Depuis elles l’ont été de plusieurs manières différentes.Voyez Trigonométrie.

ANALYSE. (De avaXvu , je décompose. ) Les mathé-maticiens modernes désignent sous le nom à’analyse laméthode de résoudre les problèmes par des calculs gé-néraux. Quelques-uns d’entre eux ont étendu tellementla signification de ce mot, qu’ils lui ont fait embrassertoutes les branches de la science des nombres : c’est ainsiqu’ils ont nommé l’algèbre, analyse finie; le calculdifférentiel, analyse infinitésimale, etc., etc. Ces di-verses dénominations sont d’autant plus mal fondées quela science des nombres, loin deprocéder toujours paranalyse, emploie la synthèse, tout aussi bien que la géo-métrie pour la génération des objets dont elle s’occupe.

L’analyse, dans l’acception rigoureuse du mot, estmie méthode de raisonnement qui procède par voie dedécomposition'ou de l’inconnu au connu; en ce sens, ellee -t l’opposé de la synthèse, méthode de raisonnement quiprocède par voie de composition ou du connu à l’inconnu.Les deux méthodes s’appliquent également à toutes lestranches des mathématiques, et si les découvertes desmodernes ont laissé si loin derrière elles les travaux*es anciens , ce n’est point parce que ces derniers igno-raient la méthode analytique, mais bien parce que lascience des nombres n’existait point encore pour eux ,011 que du moins ils n’en connaissaient que les premiersSiemens. C’est l’emploi des signes généraux, pour repré-senter les quantités, qui a facilité aux modernes ladécouverte des lois des nombres; mais c’est seulement à°ette découverte qu’ils doivent leur supériorité incon-testable , car toutes les considérations mathématiques les

plus élevées peuvent se ramener à des considérations denombres.

La distinction qu’on a voulu établir entre l’analyseancienne et l’analyse moderne ne repose donc, en der-nier lieu, sur rien de réel. Il n’y a, en effet, qu’uneseule et même méthode analytique; seulement elles’exerce'aujourd’hui sur une multitude de créations nou-velles de la science, inconnues par conséquent aux an-ciens, et ses moyens sont d’autant plus prompts et plussûrs, que ses instrumens sont plus parfaits.

C’est à Platon qu’on attribue l’invention de l’analysegéométrique, ou plus exactement de l’application delàméthode analytiqueaux constructions de la géométrie, carl’analyse, comme forme logique de raisonnement, étaitconnue avant ce philosophe. Cette application a eu de siheureuses conséquences pour la perfection de la géomé-trie , qu’il est essentiel d’en donner une idée exacte. Elleconsiste à supposer vrai ce qui est en question : on cons-truit ce qui est à exécuter; on tire de ces suppositions lesconséquences qui en dérivent, et de celles-ci de nouvelles,jusqu’à ce que l’on soit parvenu à quelque chose d’évi-demment vrai ou faux, d’évidemment possible ou im-possible. La nature de cette dernière conséquence décidede la vérité ou de la possibilité de la proposition qu’onexamine. Pour comparer l’analyse et la synthèse, nousajouterons que dans la première méthode on décomposeune proposition encore incertaine en ses parties, les-quelles doivent se trouver vraies et liées ensemble si laproposition est vraie, ou fausses et sans liaison possiblesi la proposition est fausse; tandis que dans la secondeméthode on assemble, on joint en quelque sorte plu-sieurs vérités, de la liaison desquelles résultent de nou-velles vérités. En un mot, dans l’analyse on va desrameaux au tronc, et dans la synthèse on va du troncaux rameaux. Nous allons éclaircir ces procédés parquelques exemples.

Problème I. Trouver un point C sur le segmentde cercle donné BCA, tel qu’en menant les droitesCA et CB aux extrémités de la corde AB, ces droitessoient entre elles dans le rapport des droites donnéesM et N.

Analyse.

Supposons le point C connu( fig. ci-après), et me-nons AC et BC,nous aurons

AC : BC :: N : M.

Si l’on mène la droite AD de manière que l’angleBAD soit égal à l’angle ACB, et qu’on prolonge BCjusqu’en D, on aura les deux triangles ACB et ABD quisont équiangles, et par conséquent semblables. ( VoyezTriangles semblables. ) On a donc la proportion

AC : BC :: AD : AB