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et par conséquent
AD : AB :: N : M.
Or, dans cette der- JJ _
nière proportion, ABétant connu, AD setrouve entièrementdéterminé, et il est fa-cile d’arriver par sonmoyen à la solution duproblème.
Synthèse.
Construction. Menons au point A la droite AD quifasse avec la droite donnée un angle BAD égal à celuidont est capable le segment BCA donné. Cette droiteétant de plus quatrième proportionnelle aux droitesdonnées AB, M, N, c’est-à-dire telle que l’on ait
M : N :: AB : AD.
Menons la droite BD, et du point C où elle rencontrele cercle, menons AC, le problème sera résolu.
Démonstration. Les triangles ABC, ABD sont équian-gles, car l’angle B est commun, et l’angle BAD est parconstruction égal à tous les angles dont le segment estcapable, et conséquemment à l’angle BCA. Ces deuxtriangles sont donc semblables et donnent
BC : AC :: AB : AD :: M : Nles deux droites, AC et BC, ont donc le rapport de-mandé.
Prob. IL Inscrire un carré dans un triangle donné.
Analyse.
Soit ABC le triangle donné. Supposons le problèmerésolu, et que DEFG soit le carré inscrit : par les pointA et E menons la droiteAE prolongée jusqu’à cequ’elle rencontre en O laligne CO parallèleà la baseAB, et abaissons la per-pendiculaire 01 sur cettebase prolongée s'il est ué- __
Æ G- H F B I
cessaire; abaissons égale-ment la perpendiculaire Cil qui sera la hauteur dutriangle. Les triangles CAO et DAE étant semblables,ainsi que les triangles OAI et EAF, on a les deux pro-portions
AE : AO :: DE : COAE : AO :: EF : OI.
Mais les trois premiers termes de la première sont égauxaux trois premiers termes de la seconde. car EF = DE;
donc les quatrièmes termes sont nécessairement égaux,et l’on a
01 = CO = CH.
Ainsi, la figure CHIO est un carré dont le côté est égalà la hauteur du triangle donné, et il ne faut que cons-truire ce carré pour obtenir le point E, et par consé-quent résoudre le problème.
Synthèse.
Construction. Sur la hauteur CH du triangle donné,construisez le carré CHIO ; joignez les points A et Opar une droite; du point E, où cette droite rencontrele côté CB du triangle, abaissez la perpendiculaire EFsur la base, menez par ce même point E la droite EDparallèle à la base; abaissez enfin la perpendiculaireDG, et la figure DGFE sera le carré inscrit demandé.
Démonstration. Les triangles ACO et ADE, ainsi queles triangles AOI et AEF sont semblables par con-struction , on a donc :
AO : AE :: CO : DEAO : AE :: 01 : EF.
Mais CO est égal à 01, donc DE = EF = DG = GF;ainsi, la figure DGEF ayant ses quatre côtés égaux estun carré, puisque ses angles sont droits.
Ces exemples sont suffisans pour faire connaître ladifférence des méthodes analytique et synthétique, etpour donner une idée de la manière dont les anciensles employaient. Nous traiterons à l’article Application,des moyens nouveaux d’analyse géométrique. Quant à'analyse algébrique, ses procédés seront successivementdécrits dans les divers articles qui se rapportent à lascience des nombres.
ANALYTIQUE. Ce qui appartient à l’analyse. La-grange a voulu remplacer le calcul différentiel par uneméthode artificielle, à laquelle il a donné le nom deCalcul des fondions analytiques. Le but de ce géo-mètre, si recommandable d’ailleurs par ses brillantesdécouvertes, était d’éviter la considération de Y infini,dont le calcul différentiel reçoit sa signification, et deramener ainsi les principes de cette branche de la sciencedes nombres aux principes élémentaires de l’algèbre.C’est dans cette intention qu’il désigne sous les noms defonction prime,fonction seconde .fonction tierce, etc.,les dérivées différentielles d’une fonction quelconquefx, d’une variable x, qui entrent dans le développe-ment de Taylor :
f(x+i)=fz+
dfx
dx
* ■ d fx
i ' dx 1
P dfx Pi .2 ' dx 1 ‘ i.u.3
-{-etc.
Les fonctions prime, seconde, etc., n’étant autre chose