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Le nombre des arcs qui composent ces courbes esttoujours impair, et d’autant plus grand que la voûtedoit être plus surbaissée. Ce que nous allons dire poul-ies anses de panier à trois et cinq arcs, ou, comme onles nomme, à trois et cinq centres, pourra s’appliquerfacilement à tous les autres cas. Celui de trois centresest du reste le plus employé.

Soit la droite AB , sur laquelle il s’agit de dé-crire une anse de panier; et soit DC la hauteur de laVoûte, ou sa montée. Supposons que la courbe soit tra-cée; c’est-à-dire que des centres R et M, et avec lesrayons égaux AK et BM, on ait décrit les arcs AF etBH , et que du centre E on ait également décrit le troi-sième arc FDH. Pour que la courbe soit régulière, etque les arcs se touchent seulement aux points de rencon-tre F et H, il faut qu’en menant de ces points lesdroites FK et HM, ces droites prolongées se rencon-trent au centre E.

Nommons n la demi-base AC, A la montée DC, x lerayon KF ou HM, et y le rayon DE.

Nous aurons CK = n — x, CE — y — h, EK = EF— TZF—y — x; et de plus EF = EU , KF = KA =MH = MB, d’après la nature de la courbe.

Le triangle rectangle KCE donne ( Voy. Rectangle)

(y—xy={n— x y + {y—hy-,

égalité dont on tire, en développant les puissances, {ni)

— rmdx (hx —x 1 ) — dx (h—ix). (n*-\-h* —a nx) = o.

Divisant par dx, et résolvant par rapport à x, on ob-tient

_ n 1 -}- h 2 ± (n — A) . \/n‘ -f- A»

Enfin, substituant cette valeur de x dans l’équation(m), et résolvant par rapport à y, on trouve

n 1 — A). y/ra 1 -J-A 1

y_ _

Le double signe ±: nous apprend que ces valeurspeuvent se construire de deux manières; mais nous pren-drons seulement les signes inférieurs, parce que dans lecas qui nous occupe y doit être plus grand que x.

Construction. Menons par les points A et D la droiteAD, et pi-enons CX = CD ; portons AX de D en T; et,sur le milieu Z de AT élevons la perpendiculaire ZK,prolongée j’usqu’à sa rencontre avec DC prolongé. Lespoints K et E, où cette perpendiculaire rencontrera labase AB et le prolongement de la montée DC seront lescentres cherchés. Il ne faut plus que prendre BM égaleà AK pour avoir le troisième centre.

En effet, nous avons par constructionAD y /ri 1 -J- A J ,

AT = AD — AX = y/n' + A’ — (n — A ),

^2_ — ( n — A) -j- \Zré -f- A 1

2

Mais les triangles semblables ACD et AZK donnentAC : AD :: AZ : AK.

Donc

AK =

n % + h' — (n — h) \/re’-f-/t a2 n

n 1 -}-A* -f- ixy — 2 nx — ihy = o.

Telle est l’équation de condition entre les quantitésdonnées et les rayons x et y.

Or, pour que la courbure des arcs soit la moins iné-gale, ou pour que l’anse de panier ait la forme la pluse Biptique, il faut que la différence y — x des rayonss oit dans le plus petit rapport possible avec chacun dec es rayons. Les rapports

y—x y—x

' 1 '

x y

doivent donc être des mmima.

Différenciant ces rapports ( Voy. Minima), ils don-nent l’un et l’autre.

xdy —ydx = o.

Substituant dans cette équation la valeur de y, tiréede l’équation {ni), elle devient

Les triangles semblables ACD etECK donnent aussiCD: AC:: CK : CE.

D’où l’on tire

Œ __ n' — A 1 + (n — A) y4» -f- h 12 h *

et enfin

™ «’ + A 1 + (n — A) \/rt J + JF

ED=-S- »

à cause de ED = DC -J- CE = A -j- CE.

Si l’on voulait déterminer par le calcul les rayonsAK, ED, ainsi que les angles AKF, FEH, il faudraitsimplement substituer dans les valeurs de ces rayons lagrandeur numérique de a et de b , et employer ensuiteles formules trigonométriques qui servent à trouver lesangles d’un triangle par le moyeu des côtés.