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présente une surface, et le produit de trois nombres,tel que abc représente un solide.

S’il s’agissait donc de construire géométriquement lestrois étendues exprimées par a, ab, abc, on tracerait,pour la première, une droite dont la longueur contien-tiendrait a fois l’unité linéaire ; pour la seconde,un rectangle dont la base serait a et la hauteur b ; pourla troisième, un parallélipipède rectangle dont la lar-geur serait a, la longueur b, et l’épaisseur e.

3. On nomme, en général, lieu géométrique, l’étendueparticulière exprimée pour chacune des formes a, ab,abc; et la construction de ces lieux ou l’évaluation deleurs grandeurs numériques est spécialement l’objet decette partie de la géométrie dont nous nous occupons.

4 - Le lieu de toute expression algébrique dont lavaleur finale n’a qu’une seule dimension, est toujours une

. . ... . a 1 ab a 3 b

droite : ainsi les expressions —, — , etc., etc., re-présentent des lignes ; car toutes ces formes n’ont enréalité qu’une seule dimension, puisque le nombre desfacteurs du numérateur ne surpasse que d’une unitécelui des facteurs du dénominateur. Les lieux de cetteespèce ou d’une seule dimension, se nomment lieux dupremier ordre. Dans la résolution des questions géomé-triques on ramène autant que possible la constructiondes autres lieux à celles des lieux du premier ordre ; cequi s’exécute facilement toutes les fois que ces ques-tions peuvent se réduire à la recherche de la valeurd’une ligne droite.

5. Lorsqu’une question géométrique est proposée, ilfaut d’abord tracer une figure qui représente les partieset les conditions de la question ; observer ensuite avecsoin les rapports que les différentes parties ont entreelles, ou avec d’autres droites arbitraires qu’on peutmener à volonté dans la figure; exprimer enfin les rap-ports trouvés, par des signes généraux, et établir l’éga-lité qui doit exprimer la relation des lignes inconnuesou cherchées avec celles qui sont connues. L’égalitéune fois posée, on pourra en évaluer numériquement

7 . Pour construire le lieu x = a — i-f-c — d -\-e —etc., on rassemblera toutes les quantités négatives afin dedonner à l’expression la forme

x =(a-fc + e + etc.) — {b -f- d-\-f + etc.).

Elle représente, de cette manière, la différence entre las ommc des droites a, c, e, etc., et celle des droites b,d,/, etc.

H

C L

P

—H

-»d

On prendra donc, sur une droite indéfinie AD, à par-tir du point A, AB =a, BC = c, CD = e; et, en sup-posant qu’il n’y ait que ces trois droites, on aura

AD = a-j- c -\-e.

On portera ensuite de D vers A, DE = £>, EF = rf,FH =f ; ce qui détermine

DH = b -J- d -\-f.

Et l’on a, conséquemm: nt,

AH = AD — DH = (a-fi-j-c) — => te.

AH est donc le lieu demandé.

On agirait de la même manière pour un plus grandnombre de lignes.

Il est important de remarquer que Yaddition doit tou-jours s’effectuer de gauche à droite, et la soustractionde droite à gauche.

8 . Pour construire le lieu X =—, on le réduit à la

c

proportion

c : a :: b : x}

ce qui nous apprend que x est une quatrième propor-tionnelle aux trois droites a, b , c. Or, une quatrièmeproportionnelle peut s’obtenir de deux manières :i°. Formons un angle quelconque avec des droites

c : a-.: b : AM.

Donc AM = — = x.

S... x=Y a ’ — b'.

2 °. Sur une droite indéfinie AY, prenons AD = *