AP

positive, plus grande que l’unité, et n’en aura qu’uneseule, s’il n’y a, comme nous le supposons ici, qu’uneseule racine x comprise entre a et a -J- i. Sans ce der-nier cas, après avoir trouvé la partie entière de cettevaleur de y ( Voy . Limites), désignons-la par b, et nousaurons

y = b + l'

~ étant la partie fractionnaire inconnue de cette mêmeracine.

Substituant b + - à la place de y , dans l’équation

Z

en y , nous obtiendrons une nouvelle équation en z dela forme :

z m -{- Ci z m_1 + Ct z m -' ! +C 5 z”- 5 + etc ”- = 0 >

qui n’aura également qu’une seule racine positive plusgrande que l’unité. En désignant encore par c, la partie

entière de cette racine et par —, la partie fractionnaire,

w

nous aurons

. t

z = c-l-.

w

Opérant encore comme ci-dessus , nous obtiendronspour w une valeur de la forme

w = rf-f-- ,

P

et ainsi de suite.

Or, réunissant les diverses racines

æ = a-l--, y=i+-, z=c-(-- , w = d-V- etc.,y z w p

si nous substituons dans la première la valeur de la se-conde , elle deviendra

AP U7

Et, en substituant et ordonnant par rapport aux puis-sances dey , l’équation en jy sera

y 3 — ioy 2 — 6y— i =o,

dont la racine, réelle est comprise entre io et 11. Fai-sons donc

y= i0 +^'

nous obtiendrons

61 z 3 — 94 z* — 2oz — i =o

pour l’équation en z. Cette équation a une racine entre

i et a. Par la substitution de i 4- — à la place de z dans

w r

cette dernière, l’équation en w sera

54*v 3 -}- 25W 1 — 8gw — 6i = o,dont la racine est encore entre i et a.

En continuant de la même manière, on trouve, pourles nombres que nous avons désignés ci-dessus par a, b ,c, d, etc., et qui ne sont que les parties entières desracines de chaque équation successive, les valeurs a,10,1,1,2,1,3,1,1,12, etc. ; de sorte que la ra-cine cherchée est exprimée par la fraction continue

i

x = a +

10 +

> +

x=a-

b+z.

Substituant dans cette dernière la valeur de z, et succes-sivement celles de w, etc., etc., la racine cherchée serae *primée par la fraction continue

x—a-

b + -

d + etc.

et il est évident que plus on prendra de fractions inté-grantes , plus on approchera de la véritable valeur de*• Pour fixer les idées, nous allons appliquer ce quiprécède à l’équation x 3 — o.x — 5 = o, déjà traitée parméthode de Newton.

La valeur entière d’une des racines de cette équation^tant 2, nous aurons

cr —2 +-

jr

i + etc.

D’où l’on tirera ( Voy. Fractions continues ) les frac-tions

2 21 23 44 111 i 55 576 731 i3o7 i 64 i 51 ’ 10 1 11 ’ 21 ’ 53 ’ 74 ’ 275 ’ 349 1 624 1 7S37 ’ etC ’ ,

qui seront alternativement plus petites et plus grandesque la valeur de x

La dernière fraction est plus grande que la ra-

cine cherchée j mais on sait, par la théorie des fractions

continues, que l’erreur sera moindre nue — 7À -, ou

1 ( 7837 )* ’

que o,oooooooi63... en réduisant en fraction décimale.

Ainsi, la fraction , également réduite en fraction

7^37

décimale, donnera une valeur de x exacte jusqu’à laseptième décimale. Cette valeur est

x = 2, og455148....

Ainsi, la racine cherchée est entre 2,09455149 et

2,09455147.

Cette méthode, comme celle de Newton, supposequ’il n’y a qu’une seule racine comprise entre deuxnombres a et a + 1 qui ne diffèrent que d’une unité.Cependant, lorsque cette condition n’existe pas, on peutencore, en chet chant la plus petite différence des ra-