leur nombre, n’étaient d’aucun effet pour fixer la valeurdes quantités ; car

0,-à jÇSestla même chose que-â IjQfi, ou que 0^ 0, etc.

Cependant, pour plus de régularité on écrivait les ca-ractères selon leurs valeurs, comme nous l’avons faitdans les exemples ci-dessus.

Pour exprimer un nombre quelconque de myriades ,les Grecs faisaient usage de la lettre M, qu’ils plaçaientau-dessous des caractères qui désignaient ce nombre demyriades. Ainsi

oc Q y tf

M , M , M , M , etc.

signifiait

ioooo , 200O0 , 3 oooo , 4.0000 , etc.

De cette manière,

M, représente 37000, et M = 43720000.

Généralement, la lettre M placée sous un nombre lerendait 10000 fois plus grand. Cette notation, évidem-ment incommode pour les calculs, est employée par Eu-tocius dans ses Commentaires sur Archimède .

Diophante et Pappus représentent les myriades parles deux lettres Mu, placées après le nombre; on aalors

». Mu =10000 p . Mb = 20000, etc.,et

3^0000 =A<f.Mv , 43720000 = . Mv.

De même

43728097 est exprimé par Jy»/ 3 .Mv

et 99999999 . *.3

Les mêmes auteurs emploient encore souvent une no-tation plus simple : ils suppriment le Signe M», et secontentent d’un seul point pour indiquer les myriades.Ainsi, au lieu de

d,4<Tj tls écriventet pour .

Ce dernier nombre devient, en lui ajoutant l’unité,(•0000)»= 1000000000, ou le plus grand nombre dearithmétique vulgaire des Grecs. Cette limite étaitpins qu e suffisante pour les besoins ordinaires; car les"tes poids et de mesure de longueur chez les Grecs,tels que Ig talent et le stade , étaient beaucoup plusStands que notre kilogramme et que notre mètre. Lesfieometres et les astronomes seuls pouvaient donc trou-v et des inconvéniens à une telle limitation ; mais enfinces inconvéniens existaient, et ils durent chercher lesmoyens de les faire disparaître. Archimède , par exem-l’ie, dans son ouvrage de Arenarius , pour exprimerquantité des grains de sable que pourrait contenir

une sphère dont le diamètre serait égal à la distancealors présumée de la terre aux étoiles fixes, trouve qu’ilfaudrait un nombre qui exigerait soixante-quatre figuresdans notre système de numération. Afin de représenterce nombre, il prend la myriade carrée, ou 100000000pour une nouvelle unité, et il nomme nombres du se-cond ordre ceux qu’on peut former avec cette unité ;ce qui lui donne le moyen d’exprimer les quantités pourlesquelles il nous faut seize figures. Prenant encore |(100000000)’ pour unité, il parvient à exprimer lesquantités qui nous demandent trente-quatre figures, et ;ainsi de suite. De cette manière, il arrive enfin à pou- ivoir exprimer le nombre en question, lequel, ainsi quenous l’avons déjà dit, demande soixante-quatre figuresde notre échelle de numération. Archimède entrepritce singulier calcul pour réfuter quelques personnes qui,peu instruites de la nature des nombres et des progres-sions , prétendaient qu’aucun nombre, quelque grandqu’il fût, ne pourrait exprimer la quantité de grains desable répandus sur les bords de la mer. Pour mieuxfaire ressortir leur erreur, Archimède démontra qu’ensupposant les bornes de l’univers beaucoup au-delà decelles qu’on lui donnait alors, le cinquantième ternied’une progression géométrique décuple croissante étaitplus que suffisant pour exprimer le nombre des grainsde sable qu’il pourrait contenir.

D’après Archimède , tous les nombres se partageaientdonc en périodes ou ordres de huit figures, qu’il nom-mait octades. Cette méthode, comme nous l’apprendPappus, fut considérablement perfectionnée par Apol-lonius , qui réduisit les octades en périodes de quatrefigures, dont la première est celle des unités t la secondecelle des myriades , la troisième celle des doubles my-riades , etc., et ainsi de suite indéfiniment.

Apollonius était donc capable d’écrire tous les nom-bres qui peuvent être exprimés par notre système denumération. C’est ainsi, par exemple, que s’il avaitvoulu représenter la circonférence du cercle dont lediamètre est une myriade du huitième ordre, il auraitécrit

V.»'VH. 6 l r%t.<y l Qiri.Ç l -% A/ 3 . -yufis. -g v.

3 1 4 -t 5 9265 3589 7932 3846 2643 383 a 7650.

Il nous reste à expliquer comment les Grecs représen-taient les fractions. Lorsque le numérateur de la frac-tion était simplement l’unité, ils marquaient d’un petittrait le nombre du dénominateur. Ainsi, par exemple,7' signifiait §, ^ signifiait i ; g? signifiait &, et ainsi desuite; mais la fraction avait un caractère particulier,comme c, ou < < 7 , ou K.

Quand le numérateur était autre que l’unité, le déno-minateur se plaçait à côté, un peu au-dessus, comme