q. Comme il est évident que, quelles que soient lespropriétés individuelles du nombre cinq, ces propriétésauront toujours lieu, soit qu’il exprime des mètres, desgrammes ou toute autre espèce d’objets, il suffit de con-sidérer les nombres abstraits dans la recherche des pro-cédés de l’arithmétique.

8. L’arithmétique se divise eû deux parties, dontl’une a pour objet la construction des nombres, et l’au-tre leur comparaison . Dans la première, on s’occupe àformer les nombres; dans la seconde, on recherche,lorsqu’ils sont formés, leurs relations ou leurs rap-ports.

9. Le premier mode primitif de formation des nom-bres est I’addition. C’est en ajoutant d’abord Y unitéavec elle-même que nous formons deux; et c’est ensuiteen ajoutant l’unité avec deux que nous formons trois, etainsi de suite. Lorsqu’un nombre est une fois formé,nous le représentons par un caractère particulier ouchiffre qui sert à le distinguer de tous les autres :ainsi, deux est représenté par 2, trois par 3 , quatrepar 4 , etc., etc. Mais comme nous pouvons former uneinfinité de nombres, et qu’il nous serait impossible d’a-voir pour chacun d’eux un caractère particulier, il fautnécessairement trouver le moyen d’exprimer tous lesnombres par une quantité limitée de caractères.

10. La première opération de l'arithmétique, surlaquelle repose sa possibilité, a donc pour objet de re-présenter un nombre quelconque à l’aide d’autres nom-bres que l’on considère comme simples, et qu’on repré-sente par des signes particuliers. Cette opération senomme Numération.

i 1. Dans l’arithmétique actuelle , les caractères adop-tés pour représenter les nombres considérés commesimples et ces nombres eux-mêmes , sont :

o,i, 2,3, 4 >5,0,7, 8, 9.

zéro, uu, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf.

12. Pour exprimer tous les nombres au moyen de cesdix caractères , on leur attribue deux valeurs : l’une ab-solue, indiquée par la quantité d’unités qu’ils renfer-ment; l’autre relative, déterminée par la place qu’ilsoccupent lorsqu'on les écrit sur une même ligne hori-zontale. Par exemple, 2 pris isolément exprime deuxunités; placé à la gauche d’un autre chiffre, il exprimeune quantité dix fois plus grande, ou deux dix aines ,comme on est convenu de le nommer alors.

En général, lorsque plusieurs chiffres sont écrits lesuns à côté des autres, tels que

22222 ,

le premier, à droite, n’a que sa valeur absolue; le se-cond vaut dix fois plus, le troisième cent fois plus, le

quatrième mille fois plus, et ainsi de suite en allant dedroite à gauche.

1 3 . On est donc convenu de nommer dix aine l’assem-blage de dix unités, et de compter par dixaines commeon compte par unités, c’cst-à-dire d’avoir une, deux,Vois, etc., jusqu’à neufdixaines ; et, pour les expri-mer, on voit qu’il suffit de placer au second rang lechiffre qui exprime le nombre de ces dixaines; 60, parexemple, exprime six dixaines, tandis que 6 seul n’ex-prime que six unités.

Le caractère o sert particulièrement à donner auxchiffres le rang qu’ils doivent occuper.

14. On nomme centaine la collection de dix dixaines,mille celle de dix centaines ; et on compte par centaineset par mille comme par unités et par dixaines. Il suffit,d’après ce qui précède , de placer au troisième ou auquatrième rang le chiffre qui indique le nombre descentaines et des mille pour lui faire exprimer sa doublevaleur. Ainsi, 5 oo désigne cinq centaines , et 5 ooo cinqmille.

1 5 . Cela posé (nous supposons les noms des nombresconnus), pour écrire six cent quarante-cinq, on remar-quera que ce nombre est composé de cinq unités sim-ples, de quatre dixaines et de six centaines. On placeradonc le chiffre cinq au premier rang , le chiffre quatreau second, et enfin le chiffre six au troisième, et 645exprimera le nombre proposé.

iG. Passé mille, on compte par dixaines de mille etcentaines de mille ; dix centaines de mille se nommentun million. On compte ensuite par dixaines de millionset centaines de millions; dix centaines de millions senomment un billion; dix centaines de billions un trillion, etc., etc. On donne plus particulièrement le nomde milliard au billion. Ainsi, pour exprimer le nombrehuit milliards deux cent millions deux cent vingt-quatremille cinq cent trente-huit , on écrira :

8 200 224 538 ,

mettant des zéros à la place des unités de millions et d,dixaines de millions qui ne se trouvent pas dans le nombre proposé.

17. Pour énoncer un nombre écrit par des chiffres,il faut le diviser en périodes de trois chiffres , en allantde droite à gauche, la première période sera celle desunités simples, la seconde celle des mille, la troisièmecelle des millions, etc., etc.; et il suffit alors d’énoncersuccessivement chaque tranche comme si elle était seule,en joignant au nombre d’unités qu’elle renferme sonnom particulier. Par exemple, pour énoncer le nombre8875G48585G0783250O, on le partagera par tranche*de trois chiffres, ainsi qu’il suit

8,875, G48, 585 ,607,832, 5 o 6 ;