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Soit MN une ligne droite indéfinie : d’un point Asitué en dehors, menons les droites AB, A a , Ab , Ac ,Ad, etc., et prenons les diverses parties CB , fa, gb,lie , id, etc., toutes égales entre elles ; la courbe B abcde,qui passe par les extrémités B , a, c, d, e, etc., est laconcho'ide, et la droite MN est son asymptote; caril est évident que la courbe ne peut jamais toucher MN,quoique chacun de ses points a, b, c, d, e , etc., s’enrapprochent de plus en plus.

Toutes les courbes ne sont pas susceptibles d’avoir desasymptotes ; parmi celles du second degré , l 'hyper,bole seule est dans ce cas, et parmi celles des degrésplus élevés, lesquelles généralement en ont plusieurs,on compte un grand nombre de courbes dépourvues decette propriété. Nous allons exposer les moyens de re-connaître les courbes susceptibles d’asymptotes, ainsique les procédés nécessaires pour effectuer la construc-tion de ces droites.

A ^

Soit A^N une branche de courbe rapportée à deuxaxes rectangulaires AX et AY , et soit BM l’asymptotede cette branche. Si l’on examine les diverses situationsque peut prendre une tangente C y de la courbe, parrapport à l’asymptote, on voit que plus le point de con-tact^ est éloigné de l’origine A, plus le point Ç doit serapprocher du point B ; comme aussi le point O du pointD. Ainsi, comme il est en outre évident que AC nepeut devenir plus grand que AB, ni AO plus grand queAD, AB et AD sont donc les limites ou les grandeursextrêmes des valeurs de plus en plus grandes que peu-vent acquérir AC et AO, à mesure que la tangente Cyse rapporte à un point de contact de plus en plus éloi-gné de l’origine A, ou, ce qui est la même chose, onpeut confondre l’asymptote BM avec une tangente dontle point de contact serait à une distance infinimentgrande de l’origine. L'équation de l’asymptote est doncla même que l’équation de la tangente; seulement ilfaut lui faire exprimer la circonstance de la distance infi-nie du point de contact à l’origine; ce qui s’effectue enégalant à l infini l’abscisse de ce point. Or ,x',y' étantles coordonnées d un point quelconque d’une courbe,l’équation delà droite, tangente à ce point, est {VoyezTangente)

i dÿ ,

y-y =-<û { x - x) -

En faisant x = o dans cette équation, y devient égalà AO ( Voy. Appl. de l’alg. a la ge'om. , II, n° y ), etl’on a

.<“>•

De même, faisant y= o, x devient égal à AC, etl’on obtient

.<*>•

Les deux expressions (a) et ( b ), en y faisant x'= oo ,donnent les valeurs de AC et de AD, et suivant que cesvaleurs sont finies ou infinies, réelles ou imaginaires, ilexiste ou n’existe pas d’asymptote pour la courbe dontl’équation aura préalablement fait connaître la relationgénérale des coordonnées x' et y 1 . Nous allons éclaircircette théorie par quelques exemples.

Problème I. Déterminer si la courbe dont l'équationesty' — Ax a des asymptotes.

Dans les expressions (a) et (b), le point x'ÿ devantappartenir à la courbe, on exprime cette circonstanceen faisant x =af ,y=y', et l’équation proposée de-vient

y = Ax'.

Différentiant cette dernière pour avoir les rapport*

dx' dx'

—t i et -tt on trouvedy' dÿ

*ÿdÿ = A dx'.

D’où l’on tire

dy' A dx' oy'

dx’ oy' 6t dy' ~Â'

Ces rapports substitués dans (a et (i) donnent

, , A oy’' — Ax' oAx' — Ax'

AO= y' — x — r = —-,-= 1 =-— ;

oy - oy' r iVAx'

= —v/Ax' to v

k n 2/ Ax' — oy' 1 Ax'—oAx'

AC = x —y. — = -r-=---=

= — ox.

Mais AO devient égal à AD, et AC à AB, lorsque x estinfini. Faisant donc x' = oo , nous avons

AD — i\/ Aoo ,

AB = — aoo,

valeurs qui, ne pouvant être coftstruites , nous appren-nent que la courbe y J = Ax n’a point d’asymptote.Cette courbe est la parabole apollonienne.

Problème II. Déterminer les asymptotes de la couruey* = Ax + Bac*.

L’équation proposée nous donne