AT
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AS
y'*=kx' -\-Tix'* ,
qui devient, en différentiant,
<\ÿ dÿ=kd.x' -{- aB x'dxf.
D’où l’on tire
dy' A -f- aB.*' dx' a y
dx' ‘iy’ ’ et dy' A -f- aBx' ’
Substituant dans (a) et (b) , on obtient
_ y Ax' + aBx'* a y' 1 — kx '—aB-*' 1
iy
kx'
W
2 y/ kx'-\- B*' a
AC = x' ■
iy-
W
A.r'-j- aB.r' 1 —a y' :
A + aB*'
A+aB*'
kx'
A-j-aB* ‘
Faisant, dans ces expressions x' = co , on a définitive-ment
A
AD =
AB ==
a\/B
_A
aB'
Or , ces valeurs pouvant être construites , la courbeProposée est susceptible d’asymptotes, pourvu toutefois
A
*l ue B soit positif, car s’il était négatif ————, serait
v —B’
'maginaire.
L’équation proposée est celle de l’hyperbole lorsqueB est positif, et celle de Xellipse, lorsqu’il est négatif.Ln faisant B — o, elle devient encore celle de la para-bole. Dans ce cas, les valeurs de AD et de AB devien-nent toutes deux infinies, comme dans l’exemple précé-dent. Voyez au mot Hyperbole , pour la constructiondes valeurs de AD et de AC.
Si dans les expressions (a) et ( b ), en faisant x' = co ,* une des quantités AD ou AC devenait infinie, l’autre^estant finie, c’est que la courbe aurait une asymptoteP ar allèle à l’axe sur lequel se trouve la quantité infinie.
Prob. III. Trouver les asymptotes de la logarith-ta,( üUE, dont ^équation est y = a‘ .
Cette équation nous donne
f = a*'-,
** > en différentiant,
dy' = a*', log a.dx'.
D’oi,
où
, . dx'
~dx'~ a ■l°6 a > et -J
dy a 1 ' log a^**Wifnant dans (a) et (b) , nous avons
AO = y — x’a *’. log a = a*' — *V log a,i *'«•*'. loga— a x ’
AC = x' — y . —f
a r '.loga a^'.loga
H a
Faisant x' =ao, nous obtenons
AD = co — oo = o,AB = oo.
Ces valeurs nous apprennent qu’il y a une asymptoteparallèle à l’axe des abscisses, et située à une distanceAD = o de cet axe. L’asymptote se confond donc avecl’axe des abscisses, ou, ce qui est la même chose, dansla logarithmique , l’axe des x est asymptote à la courbe.
Il ne suffit pas qu’une droite s’approche à l’infinid’une courbe, pour qu’elle lui soit asymptote; car alors,dans la figure précédente, une parallèle quelconquebm à BM serait asymptote à la courbe ky!S; mais la dis-tance de bm à la courbe ne peut jamais devenir pluspetite que sa distance à BM, qui est une distance finie etassignable. Ainsi, bm ne satisfait pas à la définition quenous avons donnée des asymptotes. Voyez, pour lathéorie complète des asymptotes, l’ouvrage de Cramer,intitulé : Introduction à F analyse des lignes courbes.Voy. aussi le Traité des fluxions de Maclaurin , lesInstitutions analytiques de Marie Agnesi , et, dans ceDictionnaire, les articles Courbes et Branches.
ASYMPTOTIQUE ( Gêom .). Espace asymptotique.C’est l’espace renfermé entre une courbe et son asymp-tote. Quoique d’une longueur indéfinie, cet espace estquelquefois fini ; dans le plus grand nombre des cas , ilest infiniment grand. Voy. Hyperbole.
ATAIR (Astr.). Nom de la belle étoile de Y aigle.
ATAUR {Astr.). Un des noms delà constellation duTaureau.
ATELIER DU SCULPTEUR {Astr.). Constellationméridionale introduite par La Caille dans son plani-sphère des étoiles australes. Elle est située sur le coluredes solstices, au-dessus de la Grue et du Phénix . Laplus belle étoile de cette constellation n’est que de lacinquième grandeur.
ATHÉNÉE, de Cysique, mathématicien grec de l’é-cole de Platon , vivait vers l’an aïo avant J.-C. Il estau nombre des disciples du lycée , dont Proclus nous atransmis les noms et les travaux. Athénée parait s’êtreadonné spécialement à l’application des mathématiquesà la mécanique. Il est l’auteur d’un traité sur les ma-chines de guerre, qu’il adressa au consul Marcellus,peu de temps après la prise de Syracuse . On ne sait sicette démarche d’Âthénée lui fut dictée par la jalousie,que la gloire dont le grand Archimède venait alors de