BA

m b a

34 - Projectile lancé sous un angle avec thorizon. Uncorps lancé sous un angle prisa volonté , avec l’horizon,décrit toujours dans son élévation et dans sa chute, desbranches de parabole, égales entre elles, et sembla-bles à celles que l’on a désignées plus haut, comme lavoie d’un corps lancé horizontalement.

Soit ce (Pl. XIV, fig. 6) la direction première duboulet ; et cg l’espace qu’il parcourt dans une portionde temps donnée, ci.

S’il n’était affaissé par la pesanteur , il se trouverait,à la fin de chaque portion nouvelle de temps, dans lespoints d’intersection, des lignes il, 2II. Toutefois,comme la diagonale cg, qu’il parcourt dans la premièreportion de temps, peut être décomposée en la lignehorizontale ci, et la perpendiculaire cl, la premièrel'estera sans être diminuée , mais la dernière sera rac-courcie de gin , nartie dont la gravité fait décliner leboulet.

Dans la seconde portion de temps, ce boulet, sup-posé sortant de m , devrait, sans la pesanteur, venirjusqu’à r- niais comme dans cette portion de temps ildécline de 3 X g m > il viendra en n ; et si l’on prend lesintervalles de la chute = î : 3 : 5 , etc., correspondantde la même manière aux temps 1, 2 , 3 ... Il décrira, àtravers les espaces cm, mn, op, pq et qd, dans lesquelsil est supposé tomber, les deux branches de la para-* bole cod.

Pour trouver l’étendue et la hauteur appartenant àun semblable jet, on se sert de l’observation suivante,qui, outre cela, fait mieux connaître la disposition dela voie.

Soit lancé un corps avec une vitesse initiale = k dansla direction AC (Pl. XIV, fig. 5 ), qui fait avec l’hori-zon l’angle CAB = a , sa vitesse se décomposera en laligne horizontale AQ et la ligne verticale QN, dont lapremière est — k cos.a; l’autre = k sinst. La gravitén’agit pas sur la première, et elle deviendra, après letemps t,

AQ = k cos a. t.

Mais, la seconde après le temps t, sera diminuée de gt’,et ainsi

QM = QN — NM = Asina.r— gp.

Pour le point B, où le corps lancé retrouve le planhorizontal, on obtient

QM = o;

ainsi,

k sin oi. t = gP,et

_ k sin *

~ g~"

donc, loivque AQ devient AB on a

A 1 sin a.cosja _ A 1 sin 2a

Si l’on cherche le point où QM devient un maximum,en posant

dQM = A sin a.dt — igldt = 0,

il en résultera

A sin a.

~ïg~

c’est-à dire la moitié de ce qu’il est pour le point B-Ceci, substitué à t dans la valeur de AQ, donne

AE =

k 1 sin a.cos a-S

kg

Par conséquent, AE = -yAB ; et en le substituant dansla valeur de QM, on obtient V élévation qu atteint le jet.

DE =

A’sin’a A 1 sin J a A 1 sin’a

ig kg kg

De ces équations pour AE et DE, il résulte

AE 1 = -- C ° -- g DE,

c’est-à-dire que la courbe est une parabole qui a D pour

2 Ok

sommet, et-pour paramètre. Le temps t, dans

g

lequel estdécrite la partie AM, est= ^ ;

K A

ainsi, AQ est proportionnel au temps. Mais le temps t,

AB sec. a

jusqu’à ce que le corps arrive eu B, est =

g

k sin.

-, comme on l’a déjà trouvé plus haut. Des

valeurs trouvées pour AB ( étendue du jet ), et DE(hauteur atteinte), il résulte enfin qu’elles sont toutesdeux proportionnelles au carré de la vitesse initiale= A. Mais à des valeurs égales pour A, DE ou la hau-teur est proportionnelle au carré du sinus de l’angled’inclinaison, et elle sera par conséquent la plus grandesi l’angle est le plus grand possible, c’est-à-dire pourun angle de 90°, ou si le coup est tiré perpendiculaire-ment. L’étendue AE est proportionnelle au sinus de Jl’angle d’inclinaison double; elle disparaît donc quandjon a sin 1 a = o, c’est-à-dire pour a = o et = 90°•A une projection perpendiculaire ou complètementhorizontale, le corps lancé n’atteindra aucune distanceétendue. La première proposition est claire en elle-même ; la seconde, qui semble renfermer une contra-diction avec l’expérience, est explicable par-là, qu’il n epeut être question d’aucun mouvement sous le plan hori-zontal. Si l’on suppose, par exemple, la paroi inférieuredu canon exactement dans le plan horizontal; le boulet,