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BF.

HE

mei’ en système binaire; on divisera 29 par 2, ce quidonnera un quotient et uu reste. Le reste sera le pre-mier chiffre cherché ou le chiffre du premier ordre.On divisera de nouveau le quotient trouvé par 2 , etl’on obtiendra un nouveau quotient et un nouveaureste : ce nouveau reste sera le chiffre du second ordre ;on divisera encore le dernier quotient par 2, et l’oncontinuera de la même manière, en divisant successive-ment chaque dernier quotient par 2, jusqu’à ce quel’opération ne soit plus possible. Les restes des divisionsseront les chiffres du nombre donné, exprimé dans lesystème binaire; ainsi,

20 . i4 n

~ = 14, reste 1, — = 7, reste o, ~ = 3 , reste 1,

29 sera donc exprimé par 11101.

De même, pour traduire 17 en arithmétique bi-naire, on aura

— = 8,reste 1 , - = 4> reste o , — = 2, reste o ,

2 2 2 ’

2 1

- = 1, reste o , - = o, reste 1,

2 2

conque d’un binôme. Cette formule, l’une des plus im-portantes de l’algèbre, et qui forme la première loithéorique de la science des nombres, fut découvertepar l’immortel Newton dès scs premiers pas dans lacarrière qu’il parcourut avec tant de gloire. Voici enquoi elle consiste : Soit a -|- h un binôme quelconqueet m uu nombre également quelconque, positif ou né-gatif, entier ou fractionnaire, on a (ni)

(a+6) m = a m ma m ~ l b 4 - ~~~ —u" 1- * b 1 -j-

+ —-- ’ a"- ! P -1- etc.

1 1 . 2.3 1

Lorsque m est un nombre entier positif, le secondmembre de cette égalité a un nombre fini de termes;mais , dans tous les autres cas, ce nombre est infini. Sinous faisons, par exemple, m= 3 , le cinquième coeffi-cient

m(ni —1) (ni —2) ( m — 3 )

1. 2 . 3.4

devient o à cause du facteur (ni — 3 ) qui devient 3 — 3 == 0; et comme ce facteur entre également dans tous lescocfficiens suivans, l’égalité ( m ) se réduit à

(a-|-&) 3 = a 3 -)- Za'b Zab 2 b 3 .

donc 17 est exprimé par 10001.

5 . Lorsqu’il s’agit-au contraire de traduire e« arith-métique décimale un nombre écrit dans le système bi-naire , il suffit de former une table des puissances de 2,et une simple addition donne immédiatement l’expres-sion demandée. En effet, le nombre 11101, par exemple,est composé d’une unité simple, d’une unité du troi-sième ordre, d’une du quatrième et d’une du cinquième.Or, dans notre numération, l’unité du premier ordrevaut i, celle du troisième vaut 2* = 4, celle du qua-trième vaut 2 3 = 8, et celle du cinquième vaut 2* = 16,le nombre 1101 vaut donc

1 + o + 4 + 8 + 16 = 29.

Ces transformations sont trop simples pour qu’il soitbesoin d’entrer dans de plus longs détails, les principessur lesquels elles reposent devant être d’ailleurs expo-sés à l’article Numération.

BINOME (Alg.) (de fis , deux fois , et de >ofn, part).Quantité composée de deux parties ou de deux termes.Ainsi, A + B , 2 a + 3 x, 5 a — x, 8x— Za?b, etc.,sont des binômes.

Une quantité qui n’a qu’un seul terme se nomme mo-nôme. On lui donne le nom de trinôme lorsqu’elle en atrois, comme A-J-B — C, et en général celui de poly-nôme ou mullinome.

Binôme de Newton. On donne ce nom à la formulequi exprime le développement d’une puissance quel-

Lorsqu’au contraire l’exposant m est négatif ou frac-tionnaire, aucun facteur ne devient o, et le secondmembre de (ni) a un nombre indéfini de termes. Si,par exemple, m = — 1, nous aurons

C a-\-b)~ l — à ~ l — a~* b -| -a~*b % — a ~% 3 -f- etc, à l’in-fini.

D’où

, , , — 1 1 b 3 , b*

(a-4-o) =- —î- -—r — etc., a 1 infini.

v ' ' a a 1 ‘a 3 a* 'a 5 ’

Si m = \, nous aurons

A JL _A AfA_ il —S

(«+i) J =a*+ia “fc-f »£,.+

+ *J* = 2ipï> a

1 . 2.3

* £ 3 -|-etc.

ou

(«hV=»’[.-H;- i £+

Ce théorème se démontre très-facilement lorsque mest un nombre entier positif. En effet,

Pour avoir la puissance m d’un binôme (a-\-b), il fi 111 *'observer que, d’après les lois de la multiplication

(Voy. Multiplication), cette puissance doit se compO'scr de la somme de tous les produits formés par toute*les combinaisons m à m des deux lettres a et b. P arexemple, le produit de a-|- b par a-\-b. ou la secondepuissance de (a-\-b) est

na -j - ab ba bb f