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Ayant mené les ordonnées PM, pm et N«, que noussupposerons infiniment proches, ainsi que les autreslignes qu e représente la figure, soient AP — X , et PM; on aura P p = Mr = mf = nF = dx , dx étant1 accroissement infiniment petit ou la différentielle de*5 de mêmemr = cfp, et l’élément de la courbe == \/"dx'^-dy'. Soit de plus rF = b, on aura wF= b — dy , et mn = \/[{b—dyf dx'].

La vitesse le long de l’arc infiniment petit Mm pou-vant être regardée comme uniforme et comme égale àce 'le que le corps acquiert en tombant de la hauteurAP, supposons cette vitesse = v , et désignons par Y laVitesse acquise le long de A p ou la vitesse avec laquellel’arc mn est paicouru. Soit enfin t le temps employé àparcourir l’aie AM: alors le temps, le long de Mm,sera = dt. Or, dans le mouvement uniforme, les espa-ces sont en raison composée des temps et des vitesses ,uous avons donc

Mm t= \/(dx' -f- dy') = vdt,mn = y/[(& — dyf -j- dx'] = Ydt.

Ainsi, le temps employé à parcourir l’arc Mn sera

V{dx' -f dy') , \/ [ , b-dyy + dx’}

-—-i v

Mais la courbe A n doit être telle que si le corps des-cendait de M en n, il devrait employer le moindrelem ps possible ; donc le temps idt est un minimum. Ona donc d(idt) = o, ou

a d't~ dyd'y , dydfy--bdy _ = „

'■’V'dx' -f dy') V \/[{b — dyf + dxf]

en su Pposant dx constant.

Divisant par d'y , et transposant, on obtient

dy b — dy _

*V( iix'TJr ) =

pi ,

est-a-dire, en remettant les lignes,

ou

rm _ rnF

v.Mm Y.mn'

v.Mm _ Y.mn Y.mn

rm ~ mF~~ Jh

Ainsi , puisque la vitesse v est comme \/ A ’tesse V comme \/kp , le produit de la racine ecisse par l’élément de l’arc correspondant étant nparla différentielle de l’ordonnée , donne toujours iquantité constante. Désignons cette quantité pai \fa.nous aurons

yx.y/idx' + dy') . ,

. df - = V«-

D’où l’on tire

xdx'

dy' =-'

J a—x

et

adx j~ nd x—"ixdx ~|

y 2 \/{ax — x') h\/(ax — x')j

2 \/(ax-

Ce qui donne en intégrant, C étant une constante,adx

C+ r = f.

2 \/(ax — x')

■ \/(ax — x').

Supposons que AB = a soit le diamètre du demi-cer-cle AQB , l’ordonnée QP sera = \/[ax —x*), et

adx

J' ~‘x\/{ax — x')sera l’arc AQ -, donc

=/

4 adx

\/{ax — x')

C+r = AQ-QP.

Mais lorsqueo , l’arc AQ et l’ordonnée QP de-viennent o: donc C = o, et l’on a définitivement

y = AQ-QP.

C’est-à-dire l’ordonnée de la courbe cherchée est égaleà l’arc du cercle correspondant, dont le diamètre est a ,moins le sinus de cet arc; ce qui est une des propriétésfondamentales de la cycloïde. La courbe demandée est.donc une cycloïde. Voy. ce mot.

L’équation de la brachystochrone réclame le secoursdu calcul des variations pour être déterminé d’unemanière directe. Voyez le Traité de mécanique dePoisson. C’est à l’aide de ce calcul que cet habile géo-mètre résout le problème de Jean Beruouilli avec cetteclarté et cette élégance qui distinguent si éminemmenttoutes ses productions.

BRADLEY (Jacques), grand et célèbre astronome,naquit vers la fin de l’année 1G92, a Shireboru, eu An-gleterre, dans le comté de Glocestcr. La vie de cethomme illustre, qu’on a surnommé avec raison le mo-dèle des astronomes , est tout entière dans ses travaux,qui en renferment les événemeus les plus importans.Destiné à l’état ecclésiastique, il prit ses grades, et ter-mina scs études à Oxford. Il fut successivement pourvudes cures de Bridstow et de Welfrie, dans le comtéde Pembroke. Mais il renonça aux espérances d’avan-cement qu’il était à même d’obtenir dans cette carrièrepour se livrer aux observations astronomiques, dontl’étude des mathématiques avait développé en lui legoût exclusif. En 1721, à l’âge de 29 ans, Bradley, quiavait résigné ses fonctions évangéliques, fut nomméprofesseur d’astronomie du collège de Saville, à Ox-ford. Dès ce moment sa vie appartient tout entière à lascience, dont il allait hâter les progrès et développerles connaissances par d’immortelles découvertes. Ce fui