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doue G est le centre de gravité des corps A, B, C ; tirezGg- perpendiculaire à PQ , et on trouvera de même

(A + B)Ee + CXCe = (A+B + C) Gg,

ou

( A + B -f C) Gg = A X Aa+ B X Bi + G X Ce.

Il est évident que l’on peut étendre la même démonstra-tion à tout nombre de corps.

Par conséquont

_ _ AXAa-|-BXBô-|-CXCc-|-DXD;f-|-etc.A+B+C+D+etâ

Et si un plan est tiré parallèlement à PQ , à une distanceGg, le centre de gravité sera quelque part dans ce plan.On trouvera de la même manière deux autres plans,dans chacun desquels se trouve le centre de gravité, etle point où les trois plans se coupent l’un l’autre est lecentre de gravité du système.

Maintenaut de l’expression précédente, pour le centrede gravité de tout'système de corps, on peut déduire uneméthode générale pour trouver ce centre. Car A, B,G, etc., étanl considérés comme les molécules élé-mentaires d’un corps, dont la somme ou masse estM= = A-|-B+C4-D+, etc., A X Aa, BXBZ-,E X Ce, D,X D*f, etc, sont les divers momens detoutes ces parties. {Voyez Momens.) De là donc, danstout corps, trouvez une expression générale pour lasomme des momens , et divisez-la par la masse du corps ,le'quotient sera la distance du centre de gravité au som-met ou à tout autre point fixe , à partir duquel les mo-mens sont évalués. Mais maintenant pour trouver l’ex-pression générale de la somme des momens, le problèmese divise en différons cas, suivant qu’on demande detrouver le centre de gravité d’un solide , ou d’une sur-face plane ou courbe, ou d’une ligne courbe de toutedescription. Nous examinerons chaque cas séparément.

Erop. III. Trouver le centre de gravité d’un corpsconsidéré comme aire, solide, surface d’un solide, ouligne courbe.

®°it ALV une ligne courbe quelconque, RL l’axedans lequel devra se trouver le centre de gravité, car,c °tome il partage toute ^

1 donnée IF en deuxP art >es égales en N, lesP ar ties de chaque côtée RL-se feront équilibrees unes aux autres; lettorps sera donc en équi-’kre sur RL, et par con-

quent le centre de gravité doit être quelque part danscette ligne.

Faisons LN = *, IN = y, IL = z, et tirons PQ pa-

rallèle à IF : si nous considérons donc ce corps commeétant composé d’un nombre infini de corpuscules, et sinous multiplions chacun d’eux par sa distance à PQ , lasomme de tous les produits divisée par la somme de tou?;les corpuscules, ou par la masse du corps, nous donner; ■la distance du centre de gravité à L, ainsi que cela a étt'démontré plus haut dans la proposition précédente.

Maintenaut pour obtenir la somme de tousles produits,nous devrons trouver d’abord la différentielle de lasomme, et son intégrale sera la somme elle-même.

Soit ds la différentielle ou l’élément du corps, ou encore la différentielle de la somme des molécules, à ladistance LN=x, alors xJs sera la différentielle de lasomme de tous les produits, et respectivement les in-tégrales

f ds et fxds

seront la première, la somme des molécules, et la se-conde, la somme des produits.

Désignons par D la distance du point L au centre degravité, et nous aurons, d’après ce qui vient d’êtredit (a),

t ,fxdsfds ’

Nous allons appliquer cette formule à plusieurs casparticuliers.

Soit la courbe ALV la parabole vulgaire dont l’équa-tion est y*=ax, a étant le paramètre.

i. Trouver le centre de gravité de l’aire paraboliqueALV. Nous avons

y—\/ax = a*x*,

Déplus, l’élément ds , puisqu’il s’agit d’une surface,est a ydx) nous aurons donc

1 JS £ K

^ farx'dx _ fx % dx _|x*

f ax dx fxdx jX r= fx = f LR quand x = LR.

a. Trouver le centre de gravité de la courbe para-bolique ALV. Ici, puisqu’il s’agit d’une simple ligne ,l’élément ds devient

ds = \/dx 2 -\-dy *;

mais l’équation y x =ax nous donne en différentiantdy=%aï.oc-idx ou dy*=\ax— x dx*.

Nous avons donc

\/= dxÿ^i + ,

et par conséquent

p [■+£}'«

fdx v[,+i}fc