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li>e courbe dont tous les points sont à égale distanced’un point pris dans l’intérieur de la figure, et qu’onnomme le centre.

Le cercle est la seule figure plane curviligne dont lagéométrie élémentaire s’occupe, et les anciens géomètresne donnaient le nom de constructions géométriquesqu’à celles qui peuvent s’exécuter à l’aide de la lignedroite et du cercle. Plusieurs problèmes fameux dansl’antiquité, tels que la quadrature du cercle , la dupli-cation du cule et la trisection de l’angle n’ont conservéla popularité dont ils jouissent encore aujourd’hui parmiles personnes les plus étrangères aux mathématiques,que par l’aveugle obstination avec laquelle on s’estefforcé de les ramener dans le champ borné des con-structions géométriques élémentaires. Nous devons faireobserver à cette occasion qu’il ne faut pas considérercomme une imperfection de la science l’impossibilité oùelle se trouve de satisfaire à des exigences qui n’ontrien de rationnel : la véritable imperfection, ou plutôtl’ignorance, réside dans les efforts infructueux qui ontété faits pour résoudre avec la ligne droite et le cercledes questions qui sont du ressort d’une géométrie plusélevée.

Le cercle est donc une des figures les plus impor-tantes de la géométrie élémentaire} et, sans rappeler iciles définitions que nous avons données ailleurs, ainsique les noms que prennent les lignes droites dans leursrapports avec sa circonférence ( voyez Notions Préli-minaires , n° 42)5 nous allons exposer les théorèmesprincipaux qui le concernent.

1 . Théorème. La perpendiculaire abaissée du centred’un cercle sur une corde , partage cette corde en deuxparties égales.

Soit le cercle A , la perpendiculaire AM menée ducentre sur la corde BC,partage cette corde endeux parties égales.

Car en supposant lesrayons AB, AC, le trian-gle BAC est isocèle, etpar conséquent la per-pendiculaire AMmenéedu sommet à la baseBC, partage cette base en deux parties égales. ( VoyezIsocèle.)

a. Théorème. Dans un même cercle ou des cercleségaux, les cordes situées à égale distance du centresont égales.

Soient le cercle O et les deux cordes AB, CD, situéesà égale distance du centre de ce cercle, ces cordes sont

égales.Carsion suppose menées lesperpendiculairesOM,

ON. ces perpendiculaires seront égales, puisqu’elles sontles distances du centre O aux cordes AB, CD, et de plus

elles partageront ces coréposant de plus les rayonsOA, OC , on pourra con-sidérer ces rayons commedeux obliques égales parrapport aux perpendicu-laires égales OM , ON : cesobliques s’écartent doncégalement de leurs pieds :AM est donc égal à CN ;mais AM, CN sont les moi-tiés des cordes AB, CD.Donc ces cordes elles-méir

en parties égales ( 1 ); sup-

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sont égales.

3 . Théorème. De deux cordes inégalement éloignéesdu centre et un cercle, la plus proche est la plus grande,et réciproquement.

i°. Soit dans le cercle O les deux cordes AB, AC,inégalement éloignées du cen-tre, de manière que AB soit laplus proche ; elle sera la pluslongue;

Car si on mène les deuxperpendiculaires OE, OD, onaura

AM > AD;

car AM est oblique par rapport à la perpendiculaireAD : mais AE est plus grand que AM; donc on auraà fortiori

AE > AD.

Or, AE, AD, sont les moitiés des cordes AB, AC ( 1 );donc aussi AB est plus grand que AC.

a 0 . Soient dans le cercle O les cordes AB, AC, demanière que AB soit plus grande que AC. Elle sera plusprès du centre;

Car, si cela n’était pas, sa distance au centre ne pour*rait être que plus petite ou égale à celle de l’autre.Mais dans le premier cas, d’après la proposition directeclic serait la plus petite, et dans le second cas elle seraitégale à l’autre, ce qui est également contre l’hyp 0 *thèse. Elle ne peut donc être que la plus proche ducentre.

4- Corollaire. On peut conclure de cette prop° w "tion la réciproque de la précédente, c’est-à-dire <î“ eles cordes égales dans un même cercle ou dans de $cercles égaux sont a égale distance du centre-,

Car il est évident qu’on ne peut le supposer autrement.

5 . Théorème. Dans un même cercle ou dans

des

des

cercles égaux, les arcs égaux sont soulendiis p arcordes égales , et réciproquement.

i". Soient les deux cercles O, o égaux, et les ^ eU