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arcs égaux ACB, acb : les cordes AB, ab qui soutendences arcs sont égales; car si i’o.i conçoit le cercle O su"

perposé au cercle o , de manière que les deux pointsA, a coïncident, ccs cercles étant égaux coïnciderontdans tonies leurs parties, et par conséquent les circonfé-enccs ACB , acb se confondront; mais puisque le pou tA coïncide avec le point a, et que les arcs ACB ,acb sont égaux , le point B coïncidera avec le point b,et les deux cordes AB, ab, ayant leurs extrémités coufondues , coïncideront parfaitement, et sont donc égalesa 0 . Soient dans les cercles égaux O , o les cordes égalesAB, ab. Les arcs ACB, acb soutendus par ces cordessont égaux ;

Car si l’arc acb n’était point égal à l’arc ACB, onpourrait en concevoir un autre acm, plus grand ou pluspetit, qui le serait; et alors meuant la corde am, d’aprèsce qui précède, on aurait

AB = am.

Mais am est plus près ou plus éloigné du centre que ab ;dans le premier cas on aurait

am f> ab,

et dans le second ( 2 )

am ab.

On en conclurait donc dans le premier casAB ab,

et dans le second

AB ab ,

ce qui est également contre l’hypothèse. Donc l’arcA CB ne pouvant être ni plus grand ni plus petit que1 arc acb , lui est égal.

Corollaire. La perpendiculaire menée du centre^ un cercle sur une corde, partage l’arc soutendu enparties égales ( fig. du n° 1 ).

On a démontré, n” 1 , que celte perpendiculaire par-tageait la corde BC en deux parties égales. Donc, puis-IlC ~ > en su PPo sail t menées les cordes BD,

ar CCS C0| d cs seraient égales, et par conséquent less ' ü tcndu S égaux: le point D est donc le milieu de

1 arc BDC.

r P ' x

1 • a heoremu. Les cordes parallèles interceptent danscercle des arcs égaux.

Soient les cordes parallèles AB, CD, dans le cercle ()Les arcs AC, AD, qu’elles interceptent, sont égaux,

Car, en supposant menéela droite CB, on aurait lesangles BCD, ABC qui au-raient pour mesures les moi-tiés des arcs BD, AC, qu’ilsinterceptent (roy. Angle g).

Mais ces angles sont égauxcomme alternes internes.

Donc les moitiés des arcs AC, BD, sont égales, et parconséquent ccs arcs eux-mêmes sont égaux.

8. Théorème. Lorsque deux cercles se coupent, ladroite qui joint leurs points d’intersection est partagéeen deux parties égales et h angles droits par celle quijoint leurs centres.

c1 " 0 A mm cercles A. B. oui se counent aux points

C,D,la droite CD quijoint leurs points d’in-ter s ect on est parta-gée en deux partieségales et à anglesdroits, par la droiteABqui jointleurs cen-tres : car le centre Aest également éloigné des d ux points C, D, extrémités dela droite CD, ce s points se trouvant sur la circonférencede son cercle; par la même raison, le centre B est aies 1également éloigné de ces deux extrémités. Donc la droiteAB ayant deux de ces points également éloignés desextrémités de la droite CD , lui est perpendiculaire, etlapartage en deux parties égales. Voy. Perpendiculaïre.

9. Théorème. Par trois points donnés qui ne sontpas en ligne droite, on peut toujours faire passer unecirconférence de cercle.

Soient les trois points A, B, C qui ne sont pas enligne droite, on pourra toujours faire passer une cir ■conférence de cercle par ces trois points.

Pour le prouver, il ne s’agit que de faire voir qu’ilexiste un point à égale dis-tance des points donnés A,

B, C. Or, si l’on conçoit cespoints joints par les droitesAB, BC, et que sur les mi- Alieux de ces droites on aitélevé les perpendiculairesEO, DO, ces perpendicu-laires se rencontreront nécessairement en un point quel-conque O, car elles ne peuvent être parallèles, puis-qu’en menant la droite ED, la somme des angles in-ternes OED, EDO est évidemment plus petite que deuxangles droits. Mais le point O, comme appartenant à laperpendiculaire EO, est également éloigné des deux