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points À, B , et, comme appartenant à la perpendiculaireDO, il est également éloigné des deux points B, C : doncil est également éloigné des trois points A, B, C, et parconséquent c’est le centre de la circonférence qui passe-rait par ces points. On se sert de cette construction pourtrouver le centre du cercle qui doit passer par trois pointsdonnés.

10. Corollaire. La perpendiculaire élevée sur lemilieu d’une corde passe par le centre du cercle;

Car les droites AB, BC, deviendraient des cordes sion faisait passer une circonférence de cercle par les troispoints A, B, C.

11 . Scolie. On peut conclure des numéros i, 6 et io,que le centre d’un cercle, le milieu d’un arc et celui dela corde qui lesoutend, sont en ligne droite, et quepar conséquent, en faisant passer une ligne droite pardeux de ces points, elle passera par le troisième.

la. Théorème. Un triangle quelconque peut êtreinscrit et circonscrit à un cercle.

Soit un triangle quelconque ABC; ce triangle peutêtre inscrit et circonscrit à un cercle.

D’abord il peut être.inscrit, puisqu’on peut toujoursfaire passer une circonférence de cercle par trois pointsqui ne sont pas en ligne droite (9).

Il peut être aussi circonscrit, car si l’on suppose lesangles A, B, divi-sés en' deux par-ties égales par lesdroites AO , BO ,le point O, ren-contre de ces deuxdroites, est à égaledistance des troiscôtés du triangle.

Pour le prouver,supposons menées les droites O a, O b, Oc, perpendicu-laires aux côtés AB, BC, AC, et le triangle BOa trans-porté sur le triangle BOô de manière que le côté BOreste commun : alors, comme par construction, l’angleOBa est égal à 1 angle OB6, le côté Ba prendra la di-rection du cote Bô; mais ces deux triangles étant rec-tangles, le troisième angle BOa est égal au troisièmeangle BOb, et par conséquent, à cause de l’égalité de cesangles, le côté Oa prendra la direction du côté O b. Doncle point a devant être en même temps sur les directionsdes droites Ab,Ob, ne peut tomber qu’au point b com-mun a ces deux droites; donc les deux perpendiculairesOa, O b coïncideront parfaitement et sont égales.

On démontrerait de même que Oa, Oc, et par consé-quent que les trois perpendiculaires Oa, O b, Oc, sontégales.

O11 peut donc faire passer une circonférence de cerclepar les trois points a, b, c, et alors les trois côtés du

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triangle ABC étant perpendiculaires aux extrémités desrayons Oa, O b, Oc, seront des tangentes, et ce trianglesera circonscrit. Donc , etc.

i3. Théorème. Un polygone régulier, d’un nombrequelconque de côtés, peut être inscrit dans un cercle.

Soit le polygone régulier ABCDEF. Il peut être in-scrit dans un cercle ;

Car si des points M,

N, milieu des côtésAB, BC, on supposeélevées les perpendi-culaires Mo, No, à ces Fcôtés, le point d’inter-section O de ces per-pendiculaires est le

centre de la circonfé- h" : D

rence (9) qui passerait par les trois points A,B, C.

Il 11e s’agit donc que de prouver que les autres som-mets D, E, F se trouvent sur cette circonférence, ouqu’ils sont également éloignés du point O. Pour cet effet,supposant menées les droites AO, BO, CO, etc., les deuxtriangles OAB, OBC auront les deux angles AOB, BOCégaux, puisque ces angles ont leurs sommets au centred’un même cercle, et qu’ils interceptent des arcs égauxAB, BC, sur la circonférence; la somme des deux anglesOAB, ABO du triangle OAB, sera donc égale à la sommedes deux angles OBC, BCO du triangle OBC ( 5 ‘a) ; maisces deux triangles sont isocèles par construction, puis-que les trois côtés OA, OB, OC, sont rayons d’un mêmecercle; on a donc

OBC = BCO et OAB = ABO,

donc

OBC -f- BCO = OAB + ABOest la même chose que

2OBC = 2ABO,

d’où l’on conclut

OBC = ABO.

La droite OB partage donc en deux parties égalesl’angle B du polygone; mais l’angle OBC étant égal àl’angle BCO, ce dernier sera aussi la moitié de l’angleB ou de son égal C, et par suite l’angle OCD sera l’autremoitié.

Donc si l’on suppose le triangle OBC transporté surle triangle DOC, de manière que le côté OC reste com-mun, le côté BC prendra la direction du côté CD, acause de l’égalité des angles OCB , OCD; et comme deplus ces côtés sont égaux, le point B tombera sur lepoint D, et le côté OB ayant ses extrémités confonduesavec celles du côté OD, lui coïncidera parfaitement: cesdeux côtés sont donc égaux.