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On démontrerait de même que OD=OE=OF= etc.Donc tous les sommels du polygone sont égalementdistans du point O, et par conséquent la circonférenceABC devra passer par tous ces sommets, et ce polygonepeut donc être inscrit.

14. Scolie. Les angles AOB, BOC, COD, etc., seDominent angles au centre du polygone; ils sont touségaux puisqu’ils interceptent des arcs égaux , et ils sontéquivalons au quotient de la division de quatre anglesdroits par le nombre des côtés du polygone : car lasomme de tous ces angles équivaut à quatre anglesdroits, puisque cette somme a pour mesure la circon-férence entière, et qu’il-y en a autant que de côtés depolygone.

Par exemple, l’angle au centre de l’hexagone régulim,est équivalent à ^ ou | d’angle droit.

i 5 . Théorème. Un polygone régulier d’un nombrequelconque de côtés peut être circonscrit a un cercle.

Car soit le polygone régulier ABCDEF, nous avonsdémontré (i 3 ) que cepolygone pouvait être1 Dscritj donc tous leseôtés.AB, BC, CD,etc.,peuvent être considéréseonime des cordes éga-les ; mais alors ces cor-des sont également éloi-gnées du centre (4), etpar conséquent les per-

pendiculaires ont, on, op, etc., que l’on peut concevoirMenées du centre sur ces côtés sont égales, et les pointsni > n, o, p, etc., sont également éloignés du centre o. Onpeut donc par tous ces points faire passer une circonfé-rence de cercle : alors tous les côtés du polygone serontdes tangentes, puisqu’ils sont perpendiculaires auxextrémités des rayons, et le polygone sera circonscrit.

Un polygone régulier peut donc toujours être cir-

eonscrit à un cercle.

’6 . Scorie. Dans un polygoné régulier les centredes cercles inscrits et circonscrits sont le même point.

La perpendiculaire om , qui est le rayon du cerclinscrit, se nomme aussi Y apothème du polygone.

'!■ Théorème. Dans un demi-cercle, si de l extrefàité du diamètre on mène des cordes, et que de l aulrextrémité de ces cordes on abaisse des perpendiculairestir U diamètre, les carrés de ces cordes seront entrux comme les segmens adjacens.

Soit le demi-cercle ABCE; si de l’extrémité A du diae, on mène les cordes AB, AC, et que de l’extréde ces cordes on abaisse sur le diamètre les perpcndiculaires BF, CG, on aura

car si l’on supposemenées les cordesBE,CE,les triangles ABE,ACE étant rectangles( angle n° 6 ), on aura( voyez Triangle )

& I

£

AB* = AE X AF, AC 1 = AE X AG,

d’où l’on tire la proportion

ÂB 2 : ÂC 2 :: AE X AF : AE X AG.

Divisant le dernier rapport par le facteur communAE, on aura

AB* : AC 2 :: AF : AG,

ce qui est la propriété énoncée.

18. Scolie. Il résulte encore des propriétés dutriangle rectangle que la perpendiculaire abaissée d’unpoint de la circonférence sur le diamètre est moyenne,proportionnelle entre les deux segmens du diamètre,car le triangle ABE étant rectangle, on a

AF : BF :: BF : FE.

19. Théorème. Dans un cercle, lorsque deux cordesse coupent, le rectangleformé entre les deux parties del’une, est équivalent au rectangle formé entre les deuxparties de l’autre.

Soient AB et CD deux cordes qui se coupent au pointO, on aura

AO X OB = CO X ODcar, menant les cor-des AC, DB, lesdeux trianglesACODBO, ayant les an-gles CAO et ODBégaux, commeayant chacun pour 0mesure la moitié del’arc CB (angle 17),sont entre eux com-me les produits’descôtés qui forment ces angles (voyez Triangle) , on adonc

ACO : DBO :: AC X AO : BD X OD.

Mais ces deux triangles ont aussi les angles ACO etOBDégaux, comme ayant chacun pour mesure la moitié del’arc AD (Angle n° 17 ), on a doue aussi

AB 3 : AC 3 :: AF : AG,

ACO : DBO :: AC X CO ; OB X