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mité B de ce diamètre, et que l’on prenne sur chacunede ces lignes, la partie xy égale à la corde correspon-dante Ad, la courbe qui passera par tous les points xest la cissoïde.

Pour trouver l'équation de cette courbe, désignonsAB pour a, et PM par z, faisons de plus l’abscisseAP = x, et l’ordonnée Px =y, et menons le diamètre\Md et la corde AM. L’angle c?AM étant droit (Angles ,ii° 19), le triangle xAM est rectangle, et comme AP estperpendiculaire sur la base xM, on a ( voy. Rectangle)

Px: AP:: AP; PM

ou

y : x :: x : z.

Cette proportion donne

x^—yz.... (1).

Mais en menant la corde BM, on a un autre triangleABM, qui donne

c’est-à-dire,

AP : PM:: PM: PB,

x : z : : z : a — x.

Ainsi s’ = ax— x*, et z = dz \/ax — x 1 . Substituantcette valeur de z dans (1), on obtient

x 1 = ±y\/ax — x 1 ,

ce qui devient, en élevant au carré et dégageant y

y* =

(»)•

Telle est l’équation de la cissoïde.

11 résulte de cette équation que , pour chaque valeurde x, il existe deux valeurs dey égales et de signes con-traires. Ainsi la courbe se compose de deux branchesparfaitement semblables, situées l’uuc à droite et l’autreà gauche de l’axe.

si r on fait x=a les valeurs dey deviennent, \/<£ 3 '

y —±. -=± cc,

o

C’est-à-dire que la courbe ne rencontre la droite Byqu’à des distances infinies du point B, ou que cettedroite est une asymptote (voy. ce mot), par rapportaux deux brandies de la cissoïde.

Une des propriétés remarquables de celte courbe,c est que l’espace asymptotique indéfini, compris entre1 asymptote et les deux branches de la cissoïde , est unespace fini égal à trois fois la surface du cercle généra-teur AdBrn. Pour le démontrer il ne faut que substituerla valeur dey, donnée par l’équation (2), dans l’expres-sion générale

qui représente la surface renfermée entre une portionquelconque de courbe et les coordonnées x et y (voy.Quadrature ) : l’intégrale demandée est donc icis

/ x'dx p x *dx

-Z’ ou /-Ti

(a—xY ^ (ax_xf

en multipliant le numérateur et le dénominateur par x - »)Intégrale dont la valeur, prise depuis x=ojusqu’àx=a,est

Or, cette quantité est la moitié de l’espace asympto-tique; donc cet espace entier est égal à f aV, ou à troisfois la surface du cercle dont \a est le rayon, ou a lediamètre.

La cissoïde résoudrait directement le problème desdeux moyennes proportionnelles , s’il était possible de laconstruire géométriquement; car en prenant le rayon CBpour une des lignes données, et élevant du point C ladroite Cg perpendiculaire à l’axe; si l’on prend Co égaleà l’autre ligne et que du pointe, où la droite indéfinie Bopassant par les points B et o, coupe la courbe, onmène à l’origine A, la ligne Ae prolongée jusqu’à cequ’elle coupe Cg en h , Ch sera la première des deuxmoyennes cherchées. O11 a en effet eh—hf, par la naturede la courbe, et c’est à trouver le point h, capable dedonner cette égalité, que Pappus a ramené la solutiondu problème. Voy. Proportionnelle.

Newton a indiqué le moyen de décrire la cissoïde parun mouvement continu, ce que Dioclès n’avait pastrouvé.

CITADELLE (Forlijicalion). Lieu particulier d’uneplace de guerre fortifiée de manière à commander surla place et sur la campagne. On place ordinairement les

citadelles sur renceinte , de manière qu’une partie estenclavée dans la ville et l’autre saillante sur la campagne-Voy. la fig. I re , Pl. II, et l’article Fortification.

CLAIRAUT (Alexis Claude) , l’un des plus célèbresgéomètrcsdudcrniersiècle,naquitàParis, le7 mai i7 1 ^*Les utiles et iinponans travaux auxquels il a attaché sonnom, lui ont sans doute acquis dans la science un rangoù l’on ne parvient qu’à l’aide du génie; mais quelque i' c 'marquables qu’ils soient, ils ne sont peut-être pas telsqu’on aurait pu les attendre de lui, d’après la renommée qui le précéda dans le monde. Clairaut fut dès sonenfance un rare exemple de précocité, et parvint à 1 |U 'telligcncc des combinaisons les plus élevées en inathematiques , à un âge où les esprits, doués des plus heureuses dispositions, commencent à peine à révéler vaguement leur supériorité. Il faisait à dix ans sa lecture h^bituelle des Sections coniques du marquis de 1 IIop 1 *^et cet ouvrage, l’un des plus importaus que posse

Jù dx ,