CO

c\ a, b \ ou ca , cb

S’il s’agissait de quatre lettres a, b, c, d, arrangéesdeux à deux, on trouverait de même

a j b < , d | . . .ab, ac, adb | a, c, d | . . . ba , bc, bdc | a, b, d | .. .ca, cb ,cdj a, b, c | .. .da,db, de

Pour trouver les arrangemens trois à trois, on voitaisément que devant chaque lettre il faut écrire tous lesarrangemens deux à deux de toutes les autres lettres:ainsi pour quatre lettres, par exemple, on aurait

« ! bc, cb , bd, db , cd, de

(X)

substituant successivement ces valeurs l’une dans l’autrenous obtiendrons (i )

A(n, m) — ni(lll l)(tll a). . . . (ni — 'ft) A(„ il 1 1, », - —l)

expression dans laquelle tout sera connu si nous pouvonsdéterminer la valeur de

b J ac, ca, ad, da , cd, de jcjflè, ba, ad, da, bd, db

d I ab, ba, ac, ca, bc, cb

■b \

et, en réunissant les groupes,

abc, acb, abd, adb, acd, adebac, bca, b ad, Lda, bed, bdccab, cba, Cad, eda , cbd, cdbdab, dba. dac, dca, dbc, deb

En général, il est évident que pour former tous les ar-rangemens d’un nombre quelconque de lettres en groupesde n lettres , il faut écrire devant chaque lettre tous lesarrangemens n —r à n —i dont toutes les autres sontsusceptibles. Si nous désignonsdoncpar A(», m ) le nombredes arrangemens de m lettres en groupes de n lettres, etpar A(»_i,m—i) le nombre des arrangemens de m —ilettres en groupe de n —i , nous aurons

A^n,m) = tll. A/»— 1, m—l)

Mais cette relation ayant nécessairement lieu, quelsque soient les nombres m et n, n étant d'ailleurs pluspetit quem, nous aurons aussi

A(„_,, == (/«_t) A(„_ s ,

A(‘- 1 i"->) = A(„_3 ; ,„_3)

A (»— 3, m— 3 ) = (/«—3; A(„_^ m — i)

etc. etc.

correspondante à une valeur du nombre arbitraire ft.Or, si nous faisons ft=m — 2 , cette quantité devient

Ap, m—» | ,

c’est-à-dire le nombre des arrangemens une à une dem —72i lettres, mais un nombre quelconque de lettresadmet autant d’arrangemens une a une qu’il y a delettres, ainsi

A(i,„,_„q.i) = m —/i-f-i ,

.[•5

donnant donc, dans (i), la valeur n —2 à la quantité Jarbitraire ft nous aurons définitivement pour le nombretotal des arrangemens n à n de m lettres, l’expression (b) A

A(», ,„) = m(m —i )(m — 2 )... .(ni — n-\-'i)(in —w-f- 1 ). 1 *

1

Dans le cas de ;n=4 , n= 3, nous avons ->•-

A(3,4) = 4-3.2= il\,

comme nous l’avons trouvé ci-dessus.

Le nombre des arrangemens étant ainsi exprimé , >111 e s’agit plus, pour déterminer celui des combinaisons,que de connaître le nombre des permutations de chaquegroupe formant un produit distinct ; c’est ce que nous al-lons expos u 1 .

Les permutations d’un groupe de deux lettres se foi"'ment en écrivant chacune de ces lettres devant l’autre,comme il suit

ab, ba.

Celles d’un groupe de trois lettres, en écrivant deva'’ 1chacune d’elle les permutations des deux autres

ajic, c&j.. .abc, acbb | ac , ca j ... bac, bcac j ab , ba j ... cab, cba

On trouvera de la même manière les permutnti ollSd’un groupe de quatre lettres, c’est-à-direécrira

A > -

■>)

(fil ft) A(„—,. m~>j — O,

«j bed, bdc, cbd , cdb , dbc, deb jb j acd, acb', cad, eda, dac. dca J