CO

abd, aclb, bail, bda, dab, dba

CO

d \ abc, acb , bac, bca , cab , cba

e t, en réunissant

alcd, abdc, acbd, acdb, adbc , adcbbacd, badc , bcad, boda, bdca , bdcacabd, cadb , cbad, cbda , cdab, cdbadabc, dacb, dbac, dbca , dacb , dcba.

Ainsi le nombre des permutations de trois lettres estégal à trois fois celui de deux lettres ; le nombre desPermutations de quatre lettres est égal à quatre fois celuide trois lettres, et ainsi de suite, n étant un nombre en-tier quelconque si nous exprimons, en général, par P„,le nombre des permutations de n lettres, nous aurons lasuite d’égalités

Ps = 3P aP 4 = 4 PïP 5 = 5P 4Ps = 6P S

etc. etc.

P„_l = (il -))P„_2

P„ = «P,_,

substituant chacune de ces valeurs dans celle qui la suit,ri °us obtiendrons

P« = «(«—i)(«—2).G.5.4.3.P2,

tuais P a =2, car deux lettres n’admettent que deux per-mutations: ainsi cette dernière expression devient (2)

P„ = 2.3.4-5.6.7. . . . (n —1) n.

c’est-à-dire que le nombre des permutations de «lettresest égal au produit de tous les nombres naturels depuisi jusqu’à n.

Si l’on demandait combien dix objets peuvent ad-mettre de variations de positions, ou de permutationstl suffirait donc de faire n=io dans (3) et l’on aurait

P» = 2.3.4.5.6.7.8.9.10 = 3628800.

Cecilettres «

P°sé, comme le nombre des combinaisons de m

a n SC trouve en divisant le nombre total des

de n f emCnS " * », par celui des permutations des groupes

es > si nous désignons ce nombre de combinai-sons par C,

r nous aurons (4)

p m(m — 1 )(m—2).... (m—n -j-1 )

'-'(»•») = -- - — -

3.3.4 • 5.«

En. faisant successivement, dans cette expression géné-ra le, n=i, 11=2, n=3, etc., on trouve

m m ( rn — t) m(m —1 )(m —2) m(m —1)(/«—2 )(m —3)

’ 2 473 ’ "2T4

qui sont, respectivement, les nombres des combinaisons1 à 1 , 2 à 2, 3 à 3, 4 a 4i etc - 1 de m lettres, et quiforment la suite des coefficiens de la formule de Newton»Voyez Binôme.

Pour donner au moins un exemple de l’applicationdelà formule (4), supposons qu’il s’agisse de trouver lenombre des combinaisons 4 à 4, de 8 lettres; nous feronsm = 8 et n=4> et commele dernier facteur du numéra-teur devient m —«-j-i=8—44" 1= 5 , nous trouverons,

C(4,8) =

8.7.6.5

2.3.4

=r 7 0.

La théorie des combinaisons reçoit de nombreusesapplications dans diverses branches de l’algèbre, tellesque la théorie des équations, le calcul des probabilités,etc., etc. On les trouvera aux articles consacrés à cesdivers objets. Voyez aussi Permutation.

COMÈTE (Aslr.) (de yj >(*■<), chevelure). Corps lumi-neux qui apparaît dans le ciel, presque toujours accom-pagné d’une traînée de lumière, et qui, pendant le tempsde son apparition, a un mouvement propre généra-lement semblable à celui des planètes.

Avant qu’on eût découvert le télescope, et suiviavec exactitude le cours de ces masses lumineuses de-puis l’instant où il est possible de les apercevoir, jusqu’àcelui où elles se perdent dans l’espace, elles semblaientapparaître et disparaître presque subitement, et leurprésence imprévue les faisait regarder comme l’an-nonce de grands événemens. Si le progrès des sciencesastronomiques ne permet plus aujourd’hui d’attacheraucune idée superstitieuse à des phénomènes soumis,comme tous les autres, à des lois fixes et déterminées ; sila science est enfin parvenue à un degré assez élevé pourpouvoir suivre dans les champs sans limites de l’universla marche de ces corps singuliers, tracer la courbe deleurs orbites, et déterminer à l’avance l’époque de leurapparition, les comètes n’en demeurent pas moins lesobjets les plus propres à stimuler la curiosité humaine;et, malgré les travaux immenses dont elles ont été l’objetde la part des astronomes et des physiciens, elles sontencore une énigme dont le mot se perd dans le secretde la création.

Que penser en effet de corps , dont les uns nous ap-paraissent comme des masses compactes semblables à laterre, et dont les autres, simples vapeurs lumineuses,plus ou moins contractées, selonleur proximité du soleil,n’offrent aucun caractère de solidité, et cependant par-courent, sans se dissiper, des espaces immenses?

On divisait jadis les comètes en trois classes, savoir :les barbues, les chevelues et les comètes à queues;mais ces distinctions 11e se rapportent à aucune diffé-rence dans ces corps enx-mêmes; elles sont seulement re-<