CO
34G * CO
celui des nombres 2, 3, 5, n; aïo et 33o auront pourcommuns-diviseurs, non-seulement 2, 3 et 5, mais en-core tous les nombres qu’on peut former par les pro-duits de ces derniers, savoir : 6, io, i5, 3o. On a eneffet :
210=2 X io5 = 3 X 70 = 5 X 4' 2 —6X35 =
= ioX2i = i5Xi4 = 3o X7-33o —2X 165 = 3 X 11 ° = 5X66=6X55 =
10X33 = i5 X 3a = 3° X ii*
Le dernier diviseur 3o, formé par le produit de tousles facteurs premiers communs aux deux nombres 210et 33o, sc nomme le plus grand commun-diviseur.
La connaissance des communs-diviseurs de deuxnombres est particulièrement utile, lorsqu’il s’agit deréduire les fractions, oude les exprimer par dcmoindresnombres. Si l’on avait, par exemple, la fraction endivisant successivement ses deux termes par 2, 3, 5, 6,io, i5, 3o, on aurait une suite de fractions
15» I- 7 o ± 2 . V *4 7
165? tiO? 66? 5 5? 33 ? sa? **
toutes égales entre elles et à la proposée. La fraction —,qui résulte de la division des deux termes de parleur plus grand commun-diviseur, est dite réduite à saplus simple expression , et en effet 7 et u n’ayant pinsaucun facteur commun, cette fraction est irréductible.
Si la recherche des diviseurs d’un nombre est, danscertains cas, un problème assez compliqué {voj. Fac-teurs); celle du plus grand commun-diviseur de deuxnombres fait l’objet d’une règle qui 11e présente aucunedifficulté ; nous allons d’abord l’exposer, puis nous dé-montrerons les principes sur lesquels elle est fondée.
Règle du plus grand commun-diviseur. i° Divisez leplus grand des nombres proposés par le plus petit;2° divisez le plus petit par le reste de la première di-vision; 3° divisez le reste de la première division parcelui delà seconde; 4° continuez de la même manière,en prenant successivement chaque dernier reste pourdiviseur, et chaque reste précédent pour dividende,jusqu’à ce que vous trouviez zéro pour reste, ou que ladivision se fasse exactement, le dernier diviseur sera leplus grand commun-diviseur demandé.
Eclaircissons cette règle par un exemple pris sur lesnombres ci-dessus 210 et 33o.
re j. . . 33o
1 division-—= 1, reste 120.
210
210
.— =i,reste 9 o.
X,e dernier diviseur 3o est donc le plus grand commundiviseur des nombres 210 cl 33o.
Cette règle est fondée sur la proposition générale sui-vante : Tout commun-diviseur de deux nombres diviseexactement le reste (ju’oiï obtient en divisant le plusgrand de ces nombres par le plus petit
Soit A et B , deux nombres quelconques tels que l’onait A)>B; désignant par Q lequoticnt de A divisé par B,par R le reste de cette division, et par D tout diviseur-commun de A et de B , de
Nous tirons l’égalité
A =BQ+R,
et, en divisant les deux membres par D,
A _BQ RD ~ D + D ’
Or, D étant par hypothèse diviseur de A, -g- estun nom-bre entier, et son égal -g l’est aussi nécessaire-
1> A
ment; mais-jX est un nombre entier, puisque B, et par
R
conséquent, BQ est divisible par D; il faut donc que g
soit aussi un nombre entier, ou que R soit divisiblepar D.
Ainsi, tout diviseur-commun de A et de B est enmême temps commun-diviseur de A, B et R. Mais envertu de la même loi, si l’on désigne parR' le reste dela division de BparR, tout commun diviseur de B etde R doit aussi diviser exactement R'. Ainsi A, B, Ret R' auront le même commun-diviseur. En désignantpar R", R”, etc., les restes successifs des divisions de Rpar R', R'par R", etc. on voit facilement que tout com-mun diviseur des nombres A et B est aussi connnun-diviscur des restes successifs R, R', R", etc. Ceci posé,lorsqu’on est arrivé à un reste égal à o , le reste pré-cédent, qui a servi dedernierdiviscur, est le plus grandcommun-diviseur entre A et B; carie plus grand com-mun-diviseur de A et de B, devant également divise»tous les restes des divisions successives, doit pouvoir diviser le dernier reste; il ne peutdonc pas être pl 11s grand;et comme le dernier reste divise lui-même A et B,reste est lui-même le plus grand commun-diviseur cherclié.
En effet, la suite d’opérations
3 e
120
~ = 1 , reste 3o
-g- = Q, reste. R-g = Q', reste R'.
4
it'-' O
o- = 5 , reste o.3o