CO

^ = Q”, reste R'.

£ = Q'", res te R'",ete. = etc.

n °us dorme les égalités

A = RQ +R,

B=RQ'+R',

R==R'Q"+R",

R'=R"Q'"+R'",etc.= etc.

Et il ne s’agit rjuc de supposer un reste quelconquee gal à zéro pour reconnaître que le diviseur correspon-dant est le plus grand commun-diviseur des nombresA- et B. Soit d’abord R = o. L’operation se termine à laPremière division, et l’on a

B

B = I ’

Ee plus petit des deux nombres est alors le plus grandcommun-diviseur. Soit maintenant R’—o, on a deuxdivisions successives qui donnent

A = BQ + RB = RQ',

0l >, en substituant la valeur de B dans celle de A,

A = RQQ' + RB=RQ'

et B sont donc divisib’es parRj et comme tout divi-seur de A et B doit aussi diviser R , R est donc le plusgrand commun-diviseur.

Si l’opération ne se terminait qu’à la troisième di-vision, c’est-à-dire, si l’on avait R r ' = o, les troiségalités

A = BQ-)-RB=RQ'+R'R=R'Q”

donner

c R aient P ar substitution de la valeur de R danse de B, et de ces deux dernières dans celle de A,

A = R'X (QQ'Q"+Q+Q'')

b=r'x(Q'Q"+0>

c’est-à-dire, que R’ est diviseur exact de À et B, il cstdonc en même temps le plus grand commun-diviseur ,

Puisque d’après ce qui précède ce dernier doit diviserK B, R et R'.

En continuant de la même manière, il devientdent que, quel que soit le nombre des divisions succe.îsives, lorsqu’on est parvenu à trouver o pour îcste , le

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dernier diviseur est le plus grand commun-diviseiur desdeux nombres sur lesquels on opère.

Les applications de la théorie du plus grand commun-diviseur , ne sont pas moins importantes dans l’algèbreque dans l’arithmetique. Nous allons les indiquer.

Deux polynômes étant ordonnés par rapport aux puis-sances d’une même lettre, tels que

( i ).... x i —5x 3 -|-5x 3 -j-5x—6( 2 ).... x 5 —i9x-|-3o,

on désigne sous le nom de leur plus grand commun-divi-seur, le polynomeleplus grand , sous le rapport des puis-sances de cette lettre, qui les divise l’un et l’autre exacte-ment. L’opération s’exécute d’ailleurs delà même manière,quepourles nombres entiers] seulement il faut avoir le>soin, à chaque division, de retrancher les facteurs numé-riques ou autres qui nese trouventpas en même temps dansle dividende, et dans le diviseur : ces facteurs ne pouvantfaire partie d’aucun diviseur commun ; c’est ainsi qu’endivisant (1) par (2), nous aurons pour premier reste

(3) . . . . 2^X* —I20U7-(-l44>

polynôme dont tous les termes sont multiples de 24'Or, comme 24 est un facteur qui n’entre pas dans (2),il faut le retrancher] ce qui réduit (3) à (4)

x 3 —5x-}-6 ]

opérant la seconde division, c'est-à-dire celle de (2) par(4), on obtient zéro pour reste, et l’on en conclut con-séquemment, que X 1 —5x+6 est le plus grand commun-diviseur des deux polynômes proposés. Nous avons eneffet

x 4 —5x 3 -|-5x 3 -f-5x—6=(x 3 —5x-j-6) (x 3 — 1 ).x 3 —1 gx-J- 3 o=(x 3 —5x-}-6) (x-f- 5).

Le retranchement des facteurs communs à tous lestermes d’un polvnome, et qui ne se trouvent pas dansl’autre, est l’objet de plusieurs règles particulières quine sont que des conséquences de la règle générale.Ellessont exposées dans tous les traités d’algèbre. Nousverrons plus loin quelques usages importans du plusgrand commun-diviseur. V oy . Elimination , Racines

EGALES.

COMMUNICATION du mouvement (Méc.). Action'par laquelle un corps met en mouvement un autre corps.'Voy. Choc et Mouvement.

COMMUTATION ( Ast .). L’angle de commutationest celui qui est forme au centre du soleil par le rayonvecteur de la terre et celui d’une autre planète. Onpeut encore définir la commutation : la distance entrela terre et le lieu d’une planète réduit à l’éiliptique.

COMPAGNIE, REGLE DE COMPAGNIE I \ Arlih .). Opé-