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La surface d’une pyramide régulière pur>)'. ce mot) est,sansy comprendre sa base, égale à la moitié du produitdu périmètre de la base par l’apc ‘ èmc. Or, plus la py-ramide a de côtés, et plus la différence entre son arêteet son apothème devient petit ; et lorsque le nombrede ces côtés est infiniment grand , cas où la pyramidedevient un cône, l’arête et l’apothème se confondent, etdeviennent l’une et l’autre le côté du cône : donc lasurface convexe du cône est aussi égale au demi-pro-duit du périmètre ou de la circonférence de sa base parson côté.

Si nous désignons par r le rayon de la base d’un cônedroit, et par A la hauteur de ce cône, son côté sera

X/A 1 +7*

car, dans le triangle générateur {fig. 4 ) ABC, nousavons AB 1 =BC , -f-AC 1 . Si donc n exprime la demi-cir-conférence dont le rayon est l’unité, 2irr sera la circon-férence dont le rayon estr, ou la circonférence delà basedu cône, et

itr\//F+"Psera sa surface convexe.

La surface convexe du cône oblique est l’objet d’unproblème très-difficile qui réclame les secours du calculdifférentiel. Voy. Quadrature.

7. Théorème. La surface convexe du cône tronquéACDB {fig. 8) est égale au produit de son côté AC par lademi somme des circonférences des deux bases.

En effet, la surface convexe du cône entier AEB est,d’après ce qui précède , égale à

•j cir. AF X AE ,

cir. AF désignant la circonférence, dont AF est lerayon, ou la circonférence de la base. De même la sur-face convexe du cône retranché CED est égale à

•î cir. CG X CE.

Donc la surface convexe du cône tronqué ACDE , dif-férence entre la surface convexe du cône entier et celledu cône retranché, est égale à

i cir. AFXAE — -j cir. CGXCE.

Or, AE=AC-)-CE, nous pouvons donc mettre cettedernière expression sous la forme (1)

i cir. AFXAC + i [cir. AF—cir. CG] X CE;

mais nous avons, à cause des triangles semblables AFE,CGE,

AF : CG AE : CEet par conséquent,

cir. AF : cir. CG :: AE : CE,

proportion d’où l’on tire

cir. AF—cil'. CG : cir. CG :: AE—CE : CE,et, par suite

[cir. AF—cir. CG] X CE = cir. CGXAC

Substituant cette valeur dans (1), nous aurons pour lasurface convexe du cône tronqué l’expression

[cir. AF-(- cir. CG] X AG.

donc, etc.

8. Théorème. Le volume du cône est égal au tiersdu produit de sa base par sa hauteur. Voyez Pyramide.

Désignant, comme ci-dessus, par r le rayon de labase, et par h sa hauteur, qui, dans le cône droit estla même que l’axe, nous aurons, V étant le volume ,

V= **#•>/».

9. Corollaire. Le volume d’un cylindre étant égalau produit de sa base par sa hauteur ( voy. Cylindre),un cône est le tiers du cylindre de même base et demême hauteur.

10. Théorème. R étant le rayon de la base inférieured’un cône tronqué, r le rayon de la base supérieure etH la hauteur du tronc, le volume du cône tronqué estégal à

-^Il[R’+r>+RXr],

car, si h désigne la hauteur du cône total, h —H seracelle du cône retranché, et les volumes de ces cônesseront

ttR’A , 5 r.r' x (A—II).

Ainsi le volume du cône tronqué, étant la différence deces deux volumes, sera

-]• 7rIW( — j TT r’ (A—II),

ou (a)

y [ttR’A — w’A -f- jrr’H] ;

mais les circonférences des bases sont entre elles comnaeles hauteurs des cônes ; nous avons donc

77R : r.r :: A : h —II,

proportion qui nous donne

r.rh = jrRA — ttRH,

et par suite

RII = RA — rh.

t'té

Substituant dans (a), à la place de jtW/, 1 ° q uaU ^

ttR/A — ;rR/TI, qui lui est égale, et réduisant, on o