3 o 8

conque, la congruence

CO

CO

A = B

donne une autre congruence

pA = pB,

suivant le même module.

4 . Si l’on multiplie terme par terme plusieurs con-gruences, les produits seront congrus. Soient

A=B, C=D,

on aura

a<c=bxd.

En effet, désignant par m et n les facteurs quidonnent

A—B=»iM, C—D=nM,

on a

A=B-{-toM , C—D-J-nM,et en multipliant,

A XC =(B-f- »»M) (D-f-nM),

ou

A X C = B X D + BnM + D/«M + /««MM.

Cette dernière égalité donne

A XD — B X D = [Bn-(-D«i-f-«tnM]M.

Or, la quantité renfermée entre les crochets étant né-cessairement un nombre entier, on a définitivement

AXC = BXD.

5 . Il en serait de même pour un nombre quelconquede congruences, c’est-à-dire, qu’ayant

A = B, C = D, E = F, G = II, etc.

On a aussi

AXCXEXG, etc., =BXDXFXHXetc.

6. En prenant tous les nombres A, C, E, G, etc.,égaux entre eux, ainsi que tous les nombres B, D, F, H,etc., on a

A/* = B<“

f* étant te nombre entier qui exprime la quantité desfacteurs égaux. Ainsi, lorsque deux nombres sont con-grus, toutes les puissances de ces nombres le sont égale-ment.

y. Désignant par a, b, c, d, etc., des nombres entierspositifs, et par X une fonction quelconque de la variableje y dont la forme soit

' Ax* + ®x J + Cx c -f- Dx* 1 + etc.

A, B, C, D, etc., étant des nombres entiers quelconquespositifs ou négatifs , si à la place dex on met successive-ment des nombres entiers congrus entre eux suivant lemême module, les valeurs qui en résulteront pour Xseront congruentes entre elles.

Car, d’après ce qui précède (3 et 6) p et q étant desnombres congrus, on a

Ap a = Aq“ y B pt = Hq l , Cp‘ == Cq e etc.et, d’après (2),

A p" -f-Bp* -}-C p' -|-etc... ~Aq* -j-Bÿ 4 -f-C q c -(-etc.

8. Dans toute congruence on peut ajouter ou retran-cher , soit des deux termes à la fois, soit seulement del’un d’eux, des multiples quelconques du module, c’est-à-dire ayant la congruence

A = B

et p et <7 étant des nombres entiers, les nombres comprissous les formes A-f-pM, A— pM, d’une part, et B-f-r/M,B —qM , de l’autre, sont tous congruens entre eux.

g. Les congruences se classent comme les équations,selon le plus haut degré des indéterminées qui entrentdans leur composition : ainsi y étant un nombre entierindéterminé,

Aj=B,

est la forme générale des congruences du premierdegré.

Résoudre une congruence, c’est trouver la valeurou lesvaleurs de l’indéterminée qui peuvent la satisfaire,ainsi M étant le module, et x un nombre en lier, commecette congruence revient à l’équation

, Ay — B=*xM,

d’où l’on tire

tous les membres entiers, qui, mis à la place de y, don-neront pour x un nombre également entier, résou-dront la congruence. Donc trouver la racine de la con-gruence

A/sB

et résoudré l’équation indéterminéeA y — B = xM

sont la même chose, lorsqu’on ne considère que l eSnombres entiers positifs ou négatifs qui satisfont à l'équa-tion.

10. L’équation indéterminée précédente qui ^vient à

Ay =xM -f-B,