CO

N

M

, N,= a ' + W

CO

oG{)

H.

M’

N, étant nécessairement plus petit queM, est

une fraction plus petite que l’unité ; et si on la comparea l’unité, on trouve

N, M , N,

' : M _ N, “ a,+ N,

désignant par a, le quotient de la division de M par N,,et par N, le reste de la division.

N a devant être aussi plus petit que N., opérons sur

N. N,

jjj" comme nous venons de le faire sur , et poursui-vons de la même manière sur les restes suivans ; nousobtiendrons cette suite de transformations, <i 3) «4, etc.

ex primant les quotiens et N 3 , N4, Ns, etc. les restes suc-cessifs.

Substituant ces valeurs les unes dans les autres, à

N,

M’

. . „ ... N . N,

partir de F expression primitive — = a. -J- — , on ob

tient définitivement

N_ ._1

M ~ a ' ' a, + i

« 4 + 1

as-j-etc.

+1

NM ’continue.

N a

N,

+

n 3

[ * --

N,

_ N a

=

N,

m

N a

+

N*

K

~N 3

= a K

n 3

N 4

n 3

+

Ns

,: rl

“'N,

— as

N*

etc.

etc.

etc.

H»-.

N ot

3

I

N,

Nm -—a

JN„,

— I

G//',

!

N,

n m — 1-f-I

tt/n

et telle sera la génération de la quantité fractionnairegénération qu’on désigne sous le nom de fractioninue.

a. On nomme fractions intégrantes les fractionssimples — , — etc., qui entrent dans la composition

G% Ct$

de la fraction continue. Ces fractions donnent le moyend’obtenir des valeurs approximatives d’une quantité

N .

fractionnaire quelconque gj-j effectivement la généra-tion de cette quantité étant

Oe continuera les transformations jusqu’à ce qu’on soitparvenu à un reste N m =o, comme s’il s’agissait de trou-ver le plus grand commun diviseur des deux nombresN et M (voy . Commun-diviseur), opération qui esttdentiquement la même que la précédente.

Des égalités ci-dessus on tire les suivantes :

n 3 -|-etc.

si l’on s’arrête successivement a la première, secondetroisième, etc., fraction intégrante, 011 a les quantités(m)

qui approchent d’autant plus près delà véritable valeui

de 4TT* qu on prend un plus grand nombre de fractions

intégrantes. Il est évident d’ailleurs que cette véritablevaleur n’est donnée que par toutes ces fractions

3 . Les quantités ( m ) que l’on obtient en s’arrêtantsuccessivement à la preînière, seconde, etc. fraction intégrante, sont alternativement plus grandes et plus pe-

tites que la quantité ^, car, en s’arrêtant d’abord à la

d °nt la der

mere est simplement

première fraction on néglige la partie jointe au dé-nominateur a a , et on rend par conséquent ce dénomina-teur plus petit qu’il ne' devrait être; d’où -j- et, par

» cause d eN„ 1=0 .