370 CO
suite a,-J*—- plus grand, ainsi
N ,i
M <a ‘ + ^
En s’arrêtant à la seconde fraction —, comme cette
«3
fraction devient plus grande, puisqu’on néglige lapartie qui devrait être jointe à son dénominateur, il
s’ensuit que a, 4“““~ est plus grand qu’il ne devrait être, '
CO
et en opérant de même pour la suite desvaleurs appro-chées de on trouverait pour ces valeurs
a, a, -j- i a-i {a,a, -f- i) 4- a,
<7a ’ a,m -|- i ’
a k a 3 (a.a a -j- i) -{-a, } + a,a, -j- 1
, etc.
a4(a a a3+ i) -\-ai
et par suite
m-j-1
ai
plus petit, d’où
N \M >
«* + 1
fraction, on obtient une valeur plus grande que
M ’
a i +
■■a.+
a,-f- i
= a, -{--—
Ü2-f- i
«34-1
at
«3044* 1
ai
a2 4“ a 4
= a. 4-
«W44-Ï= a, 4 - •
a,aiai-\-a,-\-ai
«3044* 1
5. En examinant la forme de ces valeurs successivesN
approchées de — , il est facile de voir qu’en désignant
par A,. A,, A 3 , etc., B,, B*,B 3 , etc., des quantités dontla génération soit
Par les mêmes raisons, en s’arrêtant à la troisième
IN
et
une valeur plus petite en s’arrêtant à la quatrième: ainside suite.
On aura donc, en s’arrêtant successivement à chaque frac-
N
tion intégrante, une suite de valeurs approchées de
dont les unes, dans lesquelles le nombre des fractions
. , N
intégrantes est impair, sont plus grandes que etdont
les autres, dans lesquelles le nombre des fractions inté-grantes est pair, sont plus petites.
Ainsi, comme on doit approcher d’autant plus prèsN
delà véritable valeur deque l’on prend plus de
fractions intégrantes, les premières valeurs approchées(les plus grandes) doivent être de plus en plus petites;et les secondes, au contraire, de plus en plus grandes.
4- Lorsqu’une fraction continue est donnée, on trouvela quantité qu’elle exprime en additionnant successive-ment la partie entière etla partie fractionnaire de chaquedénominateur en commençant par le dernier. C’est ainsiqu’on 1 trouve, par exemple
on aura
A,
BT
A ,—at
B,=i
A 1 =ÆïAi"|- i
Ba = « a
A3 = rt3Aa—|- A,
B3 = tf:iBa-}-I
À4=a4A.3-j- A,
B4 = U4B3+B,
A 5 =rt 5 A. 4 -f-A-î
b 5 =« 5 b 4 4-B3
etc. etc.
etc. etc.
A a a,a 2 - 1- 1
A 3
». «.
’ B 3
a3rta4“I
, etc.
A Aa
C’est-à-dire que les quantités jg etc., seront les va-
leurs successives de la fractiou continue qui repré-N
sente
M
Nous conserverons aux fonctions A, B le nom de mé-diateurs qui leur a été donné par Kramp ( voy. Arith-métique universelle) , nous réservant d’en généraliserplus loin la conception. Nous allons appliquer ce quiprécède à un cas particulier.
38i
6. Problème premier. Réduire la fraction en frac-tion continue.
On a d’abord
aiai-\-1
«aa3a44-a,4-aq
aiÆaÆ 3 A44- a iÆa4‘ fl; 'I*44" a 3 rt *4“I
mU'3U44"Ita4“CI^ ’
381 _
= » +
115
266
266 ’
115266
comme i
1 a été indiq
ué (1
115
266
=24-
36
1 :
266
115
115
1 :
36 _n5
11536
-3+
j
36
1 :
—
36
36
7
=54-
1
7
1 :
1
7 ~
7
1
=7+
0.