CO

^ conséquent

38i _ , i_

266 * *" 2+1

3+i

5+v

7

7- Problème second. Trouver les valeurs successivesla fraction continue

' +

2+1

3+i

4+«

5+i

6+1

7

CO 57'!

H — d m-f-3 [ am l + L 0>m J

etc.

etc.

—A ni -n —1

Mais on peut également former ces médiateurs, en pre-nant les bases dans un ordre rétrograde, c’est-à-dire,en partant de la base a m , et remontant aux bases a m _,,a, etc.; pour exprimer cette circonstance, nousjoindrons le signe — à l’indice de la première base danschaque médiateur, et nous aurons ainsi

On construira les médiateurs suivans , en donnant auxQuantités a,, a 3 , a 3 , etc-, les valeurs 1, 2, 3, etc.

B,=i

+=2A,+ l == 3 B.=2

A 3=-.3A a -!-A,=: 10 B3=3B a +B,= 7

A A==4A3-fA a = 43 B4=4B3+B a = 3o

A5 ==5A4-}-A3=: 225 B s = 5B 4 +B3= 157

Ac =6 A 5 +A 4 =,393 B c =6 B 5 +B 4 = 972

A 7==7A 0 -]-A5=gg76 B,=7B 6 -)-B5=696r,

cl °n aura par conséquent pour les valeurs successives+'nan<] i;s

i 3 10 43 225 i3g3 9976

’ 2’ 7’ 3o ’ iS-j ’ 972 ’ 6961 ’

^ 01 U la dernière est celle de la fraction continue entière.

8. Les médiateurs formant la partie principale de lathéorie des fractions continues, et se trouvant être d’unOsage majeur dans une autre branche de l’algèbre, nousallons, ainsi que nous l’avons annoncé, généraliser laConception de ces fonctions en adoptant la notation quia été proposée par M. Wronski, dans son Introductiona h Philosophie des mathématiques.

Soient n,, a,, ai, etc. des quantités quelconquesai| xqu e n es nous donneronsle nom de hases. En prenantc es quantités a m pour former le premier mé-pris • etsuccess ivementles suivantes a m +,, « m +a, etc.nou g > nS ' ^ ans un 01 '^ rc direct, pour former les autres,

ae signerons ces médiateurs par, la notation sui-vante :

= a, n

=a m +i +1

Pu =fl ; „ |. a [ fl j + [fl /n j

dm— J —

Cl m — J =:

[am-

].+■

Clm — 1 = dm — »

-13

[am-

1 + H,

dm — j| = dm —3

[am-

] 3 + H*

etc;

ctc.

dm — 1 =Æm — n-|->

J n

D’après cette manière d’exprimer les médiateurs, onvoit que nous sous-entendons le signe + après l’indicede la première base, dans les médiateurs directs.

9. Etant donné un nombre n de bases a m ,etc.... a m +„—i. Si on forme une suite de médiateurstant dans l’ordre direct que dans l’ordre inverse de cesbases, le dernier médiateur direct, c’est-à-dire celuidans la composition duquel entreront toutes les bases,sera égal au dernier médiateur indirect, et on aura

[fl//ï J — |[fl{m-|-n—1)—[J

Il est d’abord facile de voir que cela a lieu effective-ment pour deux, trois, quatre, etc. bases, car faisantn= 1, 2, 3, 4, etc., et construisant les médiateurs cor-respondans, on a

[[fln* jj --- 7 flm

£a„, j =fl;n+i .«m+I

=flf»4-a. .U/zi+fl,,,

etc.

£ am ^ •— a m

etc.