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change en

[^+.] v _. [«,] y [ a ^+'\_,

et se réduità(—i)*, d’après le théorème (i 3) ; substituantdonc (—i) v , ou plutôt (—i )</—/•’— 11 à la place de cettequantité, dans le second membre de l’égalité (aj etobservant que

(— i)q-p—» = (—I )9+P+n

à cause de

(—l)*«+V = I

on aura définitivement

[ U/n I . I fl/n+n I — ( ?m I . I Q*n-\-n I —

J? L J q—p—n L iq—p L Jv-'*

= ( 1. £fl/n^ * £ Gm+q —J

ce qui estle théorème en question.

i5. Les médiateurs simples que nous avons désignéspar les lettres A.,, A a , etc., B,, B a , etc. seront, en suivantnotre notation

CO

A, =[.,],

a - = H.

Aî = [ Æ ']s

etc. etc.

B,

B

44■44*44

etc. etc.

A A

et par conséquent les fractions , etc., qui expri-

ment les valeurs successives de la fraction continuedont les dénominateurs des fractions intégrantes sonta,, a jt ai , etc., seront dorénavant sous les formes (c)

Kl H* Kl clc KL[44444.KL

et c’est ainsi que nous allons les examiner.

I

16. Il suit du théorème du numéro i3, que si onmultiplie en croix les termes des fractions voisines dansla suite des valeurs (c) d’une fraction continue, la dif-férence des produits sera toujours l’unité positive ounégative, c’est-à-dire qu’on aura en général

K H—

et en particulier

H. [4 t [4 • H' = i '

(4 KlH- • [4 —*■[414 - [4 ■ [4 = ■[414 - H, ■ [4 =-■

etc. etc.

etc.

Il résulte de celte propriété que les fractions

[4 H. H,

K1HKI

, etc, sont irréductibles, ou qu’elles

sont déjà à leur plus simple expression car si

H

Kl

par exemple, avait un diviseur-commun à ses deuxtermes autre que l’unité , il s’en suivrait que le nombre

entierj^a, j^.^fl a j —serait aussi divisiblepar ce même diviseur, ce qui ne se peut à cause de

KIKLKIKL- •

17. La différence qu’il y a entre deux fractions con-sécutives (c) est la plus petite pos ible, c’est-à-dire,qu’entre ces mêmes fractions, il ne saurait tomber au-cune autre fraction quelconque, à moins qu’elle n’aitun dénominateur plus grand que ceux de ces frac-tions.

Car prenons, par exemple, les deux fractions

[4 HKl'KJ

—, leur différence est

Kl KL - H>[4

Kl Kl

OU

Kl Kl

Puisque le numérateur se réduit à l’unité.

Or , s’il existait une fraction—dontla valeur tombât

entre celles de ccs deux fractions, et dont le dénorn'nateur fût moindreque £ a a ou que j fl a il faudra' 4

A R

que la différence entre— et j;—4 qui est

H.