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CO
a vu _A a C, E 6 E 8
• ~ AxBbDsF,
etc.
etc.
En examinant les expressions des quantités A' 0 , A" 0 ,A" 0 , etc., on voit aisément qu’en prenant leurs produitsdeux à deux, à l’exception toutefois de la première.Ces produits ont une loi remarquable de formation
A, A,
B,
A." A." =
CO
Ainsi connaissant les coefficiens du développementen série d’une fonction quelconque, on peut toujours,à l’aide des formules précédentes, développer cettemême fonction en f action continue, ce qui donne unegénération entièrement différente de la série et toujoursplus convergente.
26. Pour obtenir les valeurs successives de la fonc-tion F(x) qui résultent de la somme de un , deux, trois,etc. termes de la fraction continue il faut 1 nécessairementmodifier la forme des médiateurs (11) 5 faisant donc
A m k ntt A a D3
A ° A « =~Q-
Po=Mo
Qo=i
P. =P„
-j- M, <px
Qx ~Qo
A.""A 0 v = ~~
Ds
P.=P.
-j- M t <px. P„
Q. =Q.
+ M, fx.q a
£<> CiD s
• 0 — Ee
Ps = P
-f- M 3 <px. P,
q 3 =q.
-j- (px.Qi
p* = p 3
-f- Mi <px. P >
Qi=Q 3
+ 1px.Q,
etc. etc.
etc.
etc.
etc.
etc.
s
II
►a
5
1
• i
-1 Qw = Qm-
-i-|- -,
La construction de ces quantités nous montre évi-demment que la forme la plus simple de la fractioncontinue qui donne la génération de F(.r) serait celleoiî les coefficiens A'„ , A" 0 , etc. entreraient ainsi deux àdeux j niais si nous divisons successivement chaque frac-tion intégrante par son dénominateur, l’expression (c)deviendra
F(x) = A 0 + ~<px
• +
A'.A 1
7 r<px
1 +
A" 0 A'
« <P*
ou simplement (e)
1 -j- etc.
F(x) = M„ -
* ' '1 -f-M.ipor
1
1
1 -j- etc.
Les coefficiens M OJ M,, M,, etc. étant donnés par lesexpressions (f)
Mo — A o
M, = A,
m A *
M, =— -pA,
M 3 =
M* =
Ms ==
Ma =etc.
Bi
A,A,
C4
A.B,
Ds
B 3 C*
F.»
C*Ds
etc.
Les fractions successives alternativement plus petites etplus grandes que F (£) seront
Po Px P. P3
Qo’ Qs’ Q.’ Qi
etc.
27. Avant de poursuivre, appliquons les formulesprécédentes à quelques cas particuliers. Soit d’abordF ( x ) = (i-j-j?)"*.
Le développement de ( i-\-x) m en série est d’après laformule de Newton
, . . . . m(m — 1 ) , mlm — i)(m — 2 )*, .
('+*)- = •+"**+ ,. a .3 +
etc.
Nous avons donc ici
Il II |
< < <
I
m
m(/ra—i)
A3 =
1.2
m(rn —i)(m—:
1 . 2.3
etc.
etc.
_ m(m —i)(m— 2).. ■. (m —n-)-a)
n 1.2.3.4. • • • («—>)
et de plus, la fonction <px, prise pour mesure, est sin»'plement x.
Construisons les quantités générales B» , C n , D* ’En, etc. ( d ) nous trouverons, en employant pour abrég erla notation des factorielles (voy. ce mot)
Bn =
Cn =
(n—2)w ,,I .m n — 1 1— 1
T’ï" 1 . 1 n|‘
2(3 — l .m n ~ *l— 1
"î*