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rj __ (a—3)(4— n)[<i+m)m '\» w‘1 1 m* I—»m»l— 1 m 1 T , _ (j — Q
* ,»,» 13| i ,<I ; nll '°S‘ A I J-i(
1 * 1 ». I 3 ! 1 , j4, »,
etc. etc.
^l’aide de ces quantités, les expressions (f) nous donne-rons
M. = iM, = m
(»— m )
i + ■£(*“>)
1 +'5T3(' r —«)
■+îr ,(*“0
1 + ÏT *( X —0
M =
2 . 1
Mi =
2.3
Mi=fcîi
2.5
1 + 0
1 -j- etc.
#
2 g. Prenons pour dernier exemple F(-rj=e, e étantla base des logarithmes naturels dont le développementen série est
e==I +7 + 7 ^ +t4-î +
-(-etc.
I.2.3 * I.2.3.4
Dans ce cas particulier Qx— 1 , et le coefficient général
M« =
— ( 3 ~ w )2.5
(3+wi)
A» =—.—. Nous trouveronsi n| i
M, =
2.7
etc. etc.dont la loi est évidente.
Ainsi le développement du binôme (i-f-x)" en frac-tion continue est
«—2
,2(1 _ ,n 1 1
, Cn
3 —n
i 3 1 *. m I 1
« ( 3 — n ){ n — 4 ) _ ( 4 —«) (»— 5 )
Un — i*|».i 3 |».i4|i, I n|i ’ L ‘ n ~ jJ|.,»|i I 3|i,4|i 1 5lii «l<' etc. etc.
(t+.r)»»s=i-j.
mx
e = 1 +
3 +
( 1 — m)x
ï+TTs
2.1
T _ i _ ( 1 +" t ) a:
~ r 2.3
I+sîl
1 +
(2 — m)jc2.3
„ , (i+'n)x
I + ~7y-
1 + etc.
Lorsque m est un nombre entier positif ou négatif, lafraction continue a toujours un nombre fini de termes;dans tous les autres cas, ce nombre est indéfini.
2 8 . Soit, pour second exemple, F(.r)=log.jr, log. dé-s'gnant l e logarithme naturel de x. On a la série (voyez
og-o; = (*_,)— x( x —— 1) 3 ——i)4-|-etc.
C1 > la fonction <px est x — 1 , et les coefficiens A,, A,,etc . 1 17
• y sont la suite des fractions }, i, A, etc., de sorte
1 U on a «n général
A» = —L.n
formant les quantités B„, C n , D„, etc., on obtient
1 -J- etc.
3o. Il est important de faire remarquer que la géné-ration d’une quantité obtenue, au moyen des fractionscontinues, par les procédés que nous venons d’exposer,est essentiellement différente de la transformation desséries en fractions continues donnée par Euler dans sonintroduction à l’analyse infinitésimale. Cette transfor-mation ne produit aucune géuération nouvelle ou dis-tincte de celle qui est opérée par la série elle-même,comme nous allons nous en assurer en rappelant ici laméthode d’Euler .
X étant une fonction quelconque soitX = a-
’*+P
C *H
ef-P
e+«
/-fetc.
sa génération en fraction continue.