D’où l’on tirera
384 CO
En prenant successivement la somme de un, deux,trois, etc., termes de cette fraction, on aura
i *
a+ b
« +
b+P
c
— a
_a6-j-“
~ F~
abc-\-[ia-\-ac
- b7+r~
a +
* +
abcd-\-fiad-\-acd-\-yab-\-a.y
bcd-\~pd-\-yb
c+7
d
etc.
etc.
Il est évident que ces fractions successives, en prenant
Y pour la première, sont alternativement plus petites et
plus grandes que X; mais, en prenant les différences dechacune de ce* fractions avec celle qui la suit, on voitaisément que la différence entre lapremière et la seconde
est que la différence entre la seconde et la troisième
est
a P
entre la troisième et la quatrième :
b{bc + py
\
- bc+ -p Xbcd+pd+y j CtC - ’ etC ’ 1 ainSÎ ° n P eUt <*P ,imer
la valeur de la fraction continue par une suite de termes,de cette manière
Y_ | “ a P . "Py
a ~l~ b b[bc+(l) + (ïc+jS)(icd+jSrf+ 7 )“ CtC ’série dont le nombre de termes sera infini ou fini, selonque la fraction continue s’étendra ou non à l’infini.
En supposant, pour simplifier, le premier terme aégal à zéro, la fraction continue se trouve donc expri-mée par une suite dont les termes sont alternativementpositifs et négatifs; et il est réciproquement très-facilede transformer une suite quelconque de termes alterna-tifs en une fraction continue dont la valeur soit égale àla somme de la série proposée, car, soit en effet cettesérie
X=A —B + C —D + E —F-fetc.
en comparant avec la série engendrée par la fractioncontinue, on aura les égalités
CO
a = A b
B bc
A—B
P =
_ kCcd
(Â=BHB:=cj
_ BD de~ (B—C) (C—D)
_ CE ef
” ~ (C—D)(D—E)
etc. etc.
Ayant ainsi trouvé les valeurs des numérateurs«, P, y, 3, etc., on peut prendre arbitrairement les dé-nominateurs b, c, d, e, etc., mais pour que ces nombres,étant entiers, donnent des valeurs entières à a, p, y , 3,on fait
6=i
d’où il vient «=A
c*A—C
p=B
d= B—C
•/=AC
e=C—D
<?=BD
y=D—E
»=DC
etc.
etc.
Ainsi, si l’on a
X=A—B+C—D+E—F-fetc.
on pourra exprimer la valeur de X en une fraction con-tinue, comme il suit
X =
i +
B
A—B-f
AC
B-C+
BD
C—D +
CE
D—E-j-ctc.
Si tous les termes de la série étaient des nombres fra c *tionnaires comme
on obtiendrait la fraction continue
A bc+p
C y b
B bed -|- pd -j. yb
D_ 3(bc+p)
C — bcde-j~pde+ ybe -f-tfie-j- pÿetc. etc.
X =
A +
AA
B—A-f
BB
C—B 4
CC
D—C-J-etc.