CO
CO
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A.
i
À
sons les quantités ( d) B ;> , €«, D„, etc. et avec ces qaantités, nous trouverons
1 +
B
A —B
+
B
= A—B
= A —B+C
M.=o , M,=i, M,=i, M 3 =^, M 4 = 5 -? 7 -, M 5 =- 7 '^,M 7 =-n. 6 T5i M 8 == r 4f_, etc.
en général
(a*—O 1
M„=
(2/«—3) {'if*— i)
D’où
etc. etc.
E’est-à-dire que ces valeurs sont identiques avec celles^e donnent les termes de la série proposée ; et que con-séquemment les transformations en question ne sontd aucune utilité.
4
1 + 3^5 _
i +rfv
>+r^
3 2. Pour mieux montrer la dilférence des fractionscontinues dont nous avons donné les lois n. 25 et 26avec ces dernières, proposons-nous d’exprimer eu frac-tlou continue la demi-circonférence du cercle dont lel ' a you est l’uuité. Ce nombre, en le désignant par 7r,es t donné par la série (voy. Cercle, n° 3 i )
y tz =r= I — — 4. — -— -1---[-etc.
4 3^5 7~9 11
En nous servant d’abord des formules d’Euler , faisonsA=t, B=3, C=5, D=7, etc., et nous :
i aurons
1
V'
1 +
2 +
9
1 25
3 + 7 TÜ_
+ » + 8 '
2-J-etc.
ce qui est la fameuse fraction de Brounkcr. Ses valeurssuccessives sont, en les réduisant en fractions déci-males ,
somme de 1 terme... 1
2 o, 6666666
3 . o, 8733333
4 . o, 7238094
5 . o, 8347205
6 . o, 744011 5
•; o, 8209347
etc. etc.
Eoù Ion voit que sept termes ne donnent pas uneseule décimale exacte.
Reprenons maintenant les formules des n. 20 et 21et faisons
A.= o, A 1== 1, A, = A 3 =i,A* i, A s etc.
en prenant de plus la mesure <px pour P unité. Construi-
1 -f-etc.
fraction continue dont les valeurs successives sont
somme de 1 Ici me ...
2 .
3 .
4 .
5 .
6 .
7 .
etc.
1, 0000000o, 7000000o, 7916666o, 7843120o, 7855855o, 7853657o, 7854037etc.
D’où
1
V
= O, 7853981 ...
Ainsi la somme de six termes 11e diffère, en moins, dela véritable valeur que de moins de 3 cent millièmes, etla somme de sept termes ne diffère, en plus, que de moinsde 1 cent millième, approximation déjà bien supérieureau rapport d’Archimède . La génération produite ici parlafraction continue diffère donc essentiellement decclleque donne la série; puisque, comme nous l’avons dé-montré plus haut, la fraction de Brouncker donne desrésultats identiques avec ceux de cette série.
33. C’est à lord Brouncker , chancelier d’Angleterre,qu’on doitl’iuvention des fractions continues numériques;il y fut conduit en cherchant à transformer les expres-sions indéfinies de Wallis pour la quadrature du cercle.Huygens s’en servit ensuite, et elles devinrent bieutôtl’objet des recherches des plus célèbres géomètres.Daniel Bernouilli, Euler , Lambert, Lagrange et Le-gendre perfectionnèrent successivement leur théorie, etles employèrent dans des questions importantes. Euler et Lambert surtout considérèrent ces nouvelles fonctionsd’une manière générale ou algébrique, et parvinrent a