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somme totale que d’une quantité plus petite que lem-\-i ième terme : donc la série est convergente, puis-que ce terme peut devenir aussi petit que l’on veut enprenant m suffisamment grand.

2 ®. Une série dont tous les termes sont positifs est con-vergente lorsque ces termes sont décroissans à l’infini, carsoit

N = a-j-A-f-c + d + e +/+ g-f- h -j- etc.une telle série; si nous foisons

CO

Mais puisqu’on faisant x=a on a fx =o , toutes le»quantités dans lesquelles entre fx se réduisent à zéro aprèsles différentiations, ainsi on a en général

d n fc m = o

tant que n est plus petit que m; retranchant donc des dé-,veloppemens précédons les termes qui deviennent zéroet substituant ensuite dans (i), nous aurons

Fx = A 0 + A ,dfx

a + b -f cnous aurons

N = M+/+ *+/»+!+etc.

N = M’ -f- g-f- A -j- i -}- A -J- etc.

d’où N]>M et ; mais M'diffère moins de N que

M puisqu’on a aussi M')>M, donc la différence entre Net la somme d’un nombre de termes peut devenir aussipetite qu’on le voudra, en prenant ce nombre suffisam-ment grand.

3° Toutes les séries dont les termes vont toujours encroissant sont divergentes.

Quelque divergente que soit une série, lorsqu’elle n’apoint été formée par une suite de termes pris arbitraire-ment , mais qu’elle exprime la génération d’une fonc-tion d’une quantité variable , d’après des valeurs par-ticulières de cette variable, on peut toujours la trans-former en série convergente; soit(t)

Fx = A„-j-Ai > /x-{-A a- /x , -j-A 3> /i 3 -j-À 4 i /x 4 -j-ctc.

une série divergente, Fx étant une fonction quelconquede x, et fx une autre fonction également quelconquede la même variable j et soit ( 2 )

Fx = Bo-j-B.fx-j-B.ipx'-f-BjM^-t-Bj^x'-l-etc.

la série transformée convergente, <px étant une fonctionarbitraire de x.

Supposons que l’équation fx= o donne x=a, etconstruisons les fonctions fx, fx'jfz 3 , etc. avec les puis-sances successives de x— a, nous aurons (voy. Sériés),en désignant par un point placé sur x qu’il fout foirex~a, après avoir pris les différentielles,

+ [A,rJ*/r+A,rf/i*].

+ ^A.r/'/x -f- k.dfx' + A,^ 3 /x 3 J. yt 2 73-f- etc. etc.

Choisissant la fonction arbitraire çx de manière qu’onait <px=o , en faisant x=a , nous aurons de même

Fx = B, + B ,d<?x

I

-f [b.^x+B.^x'].

|^B,rf 3 <px-|- B,rf 3 <px’-|-B 3 <r/ 3 <px 3 J ^ j-}- etc. etc.

Donc, en comparant les deux développcmens, non»obtiendrons (3)

A 0 =B„

k,dfx—V>ulpx

A ,df x-j-A ,df x’^B (b$x

A, dfi +A. dfx 1 -j- A 3 r/y x 3 =B, dfx +V.df.i »+

+B idfx 3

etc. etc. etc.

équations de conditions par lesquelles on pourra de'terminer les quantités Bo, B^ B„ etc., à l’aide des coef'ficicns A 0 ,A,, A a , etc.

Pour appliquer ces formules, soit la série généraleFx=A<,-f-A,(x— a)-\-kJx —a)*-|-A 3 (x—n) 3 -f-etc.

fx =fx fcf) + \Z=L a l + etc.

dx 1 1 dx 1 i .2 1

v-jp+tg { ~ a1 ^ &=? + «■

etc.

etc.

dans laquelle a est une quantité donnée, telle que le*' 5 *qu’on a xf>a- }-i, cette série devienne divergente;

A,, A,, etc., étant des nombres finis quelconques. ^aura ainsi

fx = (x—a).

f 11A

La fonction <px devant être choisie de manière qu cdevienne zéro en faisant x—o, donnons-lui la for©e