CO
(x—«). {ÿx)"‘
CO ^ 58-J
II. Prenons pour second exemple le développement
4x étant une fonction arbitraire de x et m un nombrewbitraire, et pour prendre la fonction la plus simple,faisons
4x=m4 ,r et m =— x
nous aurons
<px = (x—a). (n+x)-
dè cette manière la série tranformée (2) sera
P * = B - + B. ^ +»• + B ‘ (S)+ e,C
et pourra devenir convergente, quelle que soit la valeurde x , au moyen de la quantité arbitraire n.
Substituons dans les équations de conditions ( 3 ) a laplace de fx et 1 px leurs valeurs particulières ci-dessus,et nous obtiendrons (4)
A « = B„
A . (n+a) = B,
^ (*4«) a = B, — B,
A 3 ( n+a)3 _ Bj B,
A * («+a)< = B 4 —3B 3 +3B,-B,etc. etc.
A * (n+a)" 1 = B,„-— Bm-, 4 ! -- Bm — +
_ etc.
1 . 2.3
^°us allons éclaircir cette théorie par quelques exemplesnumériques.
I. Lx désignant le logarithme naturel de x, on a las erie connue.
L* = (x —, ) ~x[x— 1 )’4 l(x— 1 ) 3 — %x— 4 ) 4 + etc.
4«i est divergente lorsque x est plus grand que 1 ) pourtransformer en une série convergente, faisons
a = 1 eln = 1
n o«s avons de plus
ce
A ° = o, A, = — i, A, = i, A, = — 4 etc.nous donnera en substituant dans (4)
B„
>.=o, B.=a, B,-=o, Bj=^, B 4 =o, B,-f, etc.Ainsi la série transformée sera
Lx :
laquelle
de x.
l^+i(î~)’ + 1 (î-4+e.c.
est convergente pour toutes les valeurs positives
—= 1 — x+x* — x 3 -\-x i —x 5 4x 6 —etc....
■qui devient divergent lorsque x n’est pas plus pet tque l’unité. Nous aurons a=o et
A 0 =i , A,= —1 , A«=i , A 3 =—i , A*=i , etc.
En conservant dans toute sa généralité la quantité arbi-traire n , nous obtiendrons
B 0 =i , B,= — n , B^/t 1 —n , B 3 =—n 3 4 2 «*—«, etc 'et, conséquemment,
Tjbr” ‘ ~ n T+ï +" (n “*
4 n ( n —i) 3 —y—n —«(«—rj’ 4 etc .
' ' {n+xf ' ' («4x) 5 1
Pour x=i, où la série proposée devient la suite singu-lière
1—141 —141—i4i— 1 + 1 —etc., etc.
dont les géomètres se sont tant occupés, la série trans-formée est
_«_ . nÇ n— 1) n{ n— 1)» n(n— i) 3
(«+ I )’ t (' 4 ‘)‘ («—i) 3 " 1 " (« 4 1 ) 4
qui, pour toute valeur positive de n est une série con-vergente donnant la valeur x.
Ces transformations et les belles lois dont elles déri-vent sont dues à M. Wronski (voy. Philosophie de laTechnic , seconde section)) elles prouvent évidemmentqu’une série quelconque a, en elle-même, dans lenombre indéfini de ses termes, une valeur déterminéerigoureuse, sans avoir besoin d’aucune quantité complé-mentaire comme plusieurs géomètres l’ont cru, puisqu’àl’aide de ces mêmes termes, quelque divergente qu’ellesoit, elle donne toujours une série convergente (VoyezSérie).
On peut ramener toutes les suites infinies de nombresdéterminés dont on ne connaît pas les séries généralescorrespondantes, aux formules précédentes, en remar-quant que pour une telle suite
N„ 4. N, 4 N, 4 N 3 4 4 - etc.
On peut admettre une série générale
Fx = A 0 4 Ai/x 4 A»/x* 4 A 3 /x 3 4 A»/x 5 4 etc.
en supposant que cette suite provienne delà série géné-rale pour une valeurdéterminée de la variable x. Cettehypothèse arbitraire donne les relations (x désignant lavaleur déterminée de x )
N» = A„, N, = A fx, N, = A,/i*, N 3 = A 3 /x 3 etc