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préférée à une autre parce qu’elle a une équation plussimple , mais bien parce qu’elle est d’une constructionplus facile {Voy. Arithmétique universelle de Newton ).

Les lignes ont été classées suivant le degré des équa-tions qui les expriment. Les lignes du premier ordre quisont toutes comprises dans l’équation

Ay 4 -Bx 4 -C=o,

.exprimant seulement des droites, ne peuvent, à pro-prement parler, être rangées parmi les courbes; aussiles lignes du second ordre ont-elles reçu le nom decourbes du premier ordre. Elles sont exprimées par l’é-quation

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I. Trouver 1 ‘équation d’une courbe, sa description etses propriétés caractéristiques étant dotmées.

i° On se propose de déterminer l’équation d’une cir-conférence de cercle, sachant qu’une de scs propriétéscaractéristiques est d’avoir tous scs points égalementéloignés d'un point intérieur appelé centre.

Pour cet objet, imaginons par le centre O d’uncercle les deux droites OX et OY perpendiculairesentre elles; menons un rayon quelconque OM , et dupoint M abaissons sur OXla perpendiculaire MP. Dansle triangle rectangle OMP nous aurons la relation

o>i = pm’+OP

Aj 1 -)-Bjr/-}-Cx’-f-D/-}-E J c-)-F=o.

Ces courbes, qui sont aussi appelées sections coniques,comprennent le cercle, l’ellipse, l’hyperbole et la pa-rabole (Voyez ces mots).

L’équation qui comprend toutes les lignes du troi-sième ordre, ou les courbes du deuxième, est la sui-vante

Ay 3 -f- B xy*-\- Cxy-\- Dx 3 -f- Ey* -f- Fxy-|- Gx* + Hy-f-4-Rx-|-L - - o.

Les courbes du troisième ordre sont exprimées parl’équation

A y* -)- Bxy 3 -j- C xy* -f- Dx 3 y -f- Ex 4 -f- Fy 3 -f- Gxy’ -f-4- Ilx’y + Rx 3 4- Ly’4" Mxy 4- Nx J -}-Py 4 - Qx -f-4-R=o,

Or, pour tout autre rayon, nous pourrons construireun triangle semblable au triangle OMP , et exprimer cerayon eu fonctiond’une partie de ladroite OX etd’une perpendi-culaire à cette

-A..

droite. Si doncnous désignonspar /• le rayon ducercle, par x lecôté suivant ladroite OX, et pary le côté qui lui est perpendiculaire,la relation ci-dessus prendra la forme

r' =y» 4- x 1 ;

et ainsi des autres.

I/équation des lignes du troisième ordre contenantdix constantes arbitraires, on voit que leur nombre doitêtre extrêmement considérable. Newton le porte à 72 ;mais Sterling ayant découvert quatre nouvelles espècesd’hyperboles de cet ordre, et Stone en ayant aussitrouvé deux, le nombre total devrait être porté à 78.Cependant Euler , qui les classe en seize genres, affirmequ’il y en a quatre-vingts variétés. Il dit aussi qu’il y aplus de cinq cents espèces de lignes du quatrième ordre,ce qui fait juger a quel nombre doivent s’élever leslignes des ordres suivans.

La théorie des courbes forme une des branches lesplus importantes des sciences mathématiques, et pourtraiter ce sujet avec tout le développement qu’il com-porte, il ne faudrait pas être restreint par des limitesaussi étroites que celles de cel ouvrage qui, embrassantla science daus tout son ensemble, ne peut donner surles différentes parties dont elle se compose, les détailsqu on tiouvc daus les traités spéciaux ; aussi nous bor-nerons-nous à exprimer ici des idées générales sur lamanière dont 011 peut traiter les deux grands problèmesdaus lesquels se décompose la théorie des courbes planes.

et elle sera évidemment l’équation de la circonférencedu cercle dont le rayon est r, puisque la ligne qu’elleexprime est le lien de tous les points éloignés du centreO de ia distance égale à r.

2°Supposons que les deux droites rectangulaires XXet YY’ étant données, ainsi qu’un point O pris sur 1®

IroiteXX’, on demande le lieu du point milieuôté Eli de l’angle droit d J un équerre HEO, dontrémi te II est assujétic à s’appuver sur la droite YY ,