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dont l’autre côté de l’angle droit EO prolongé suffisam-ment, doit toujours passer par le point O. Le côté EHde l’équerre étant de plus égal à la distance AO.

Nous prendrons les deux droites XX' et YY' poura *es des coordonnées, c’est à-dire nous appelleronsx les droites comptées sur la droite XX', cty les droitescomptées sur la droite YY', ou parallèlement à elle.Soit M un point du lieu correspondant à la positionCEH de l’équerre. Des points M et E , abaissons MP etperpendiculaires sur XX', et menons EQ parallèle àN^X'. Faisons AP=x, MP=y, EH=AO=ja. Le pointM étant, d’après ce que nous avons supposé, le milieude la droite EH, ME=a et QE = PR = AP =: x ; parconséquent on aura dans le triangle rectangle MQE

MQ* = a 1 — x 5 .

Mais les deux triangles OERet MQE sont semblablese * donnent la proportion

ER : OR :: EQ; MQ,

°u bien

ER : 2 a-\-' 2 X :: x : \A*—x’

d’où

,7B _ ua(a-f x)y /a 1 — x’

Mais

MP ouy = ER -j- MQ ;

donc

o..T'a -4-.r)

y — —7==—'= -f-V/a 1 — oc'y/ a* — x 1 v

ce qui donne, en effectuant les calculs et élevant les deuxmembres au carré

(o-fx) 3a—x ’

équation qui est celle d’une cissoïde ( Voyez '

Ces deux exemples doivent suffire pourcomment, à l’aide des principes de la géométbinés avec les moyens analytiques fournis par°n peut trouver une équation exprimant les<1Ul ex 'stent entre lesdifférens points d’une cot° n C0Un aît quelques-unes des propriétés.

11 • Etant donnée l’équation d’une courbe, let lr °uvcr s e s principales propriétés.

Quand une courbe plane est donnée par son®fin de pouvoir la décrire , on conçoit deux diqui se coupent, et sur lesquelles ou porte les4 U on attribue aux variables contenues dans 1Menant alors par ces points des droites paraidroites fixes, qu’on appelle axes de« '-oordon:

intersection détermine les points de la courbe. L’angleque les ax es forment entreeux étant tout-à-fait arbitraire,nous le supposerons droit dans toutes les discussionsqui vont suivre {Voyez Coordonnées).

i° On demande de tracer la courbe exprimée par l’é-quation

{y— x 1 ) 1 = x 5 ,on en tire pour la valeur de^

y=x'( îdtx 1 )

Cette équation se décomposant en deux parties

y = x 1 Çt +x a ) et y=x* —x*^

On voit que la courbe aura deux branches , qui toutesles deux passeront par l’origine des coordonnées,puisque dans l’une et dans l’autre pour x=o, ona/=o.Considérons d’abord la première équation. A mesureque x augmente positivement, y augmente aussi posi-tivement, et pour x=cc, y=cc ; cette branche s’étenddonc à l’infini dans le sens des X et des Y positifs. Si on

donne à x des valeurs négatives, x*devientimaginaire,et par conséquent cette branche de la courbe n’a pas depoints du côté des X négatifs.

Quand, dans la deuxième équation on suppose x=i,on ay=o ,cette branche de courbe coupe donc l’axedesXau point n , la distance A n étant supposée égale à l’unité.Pour toutes les valeurs positives de x, plus grandes que

l’unité, le facteur i—x* devient négatif, et par consé-quent les valeurs de y sont négatives. Et comme pourx=<x >, y ——oo , cette branche de courbe s’étend à l’in-fini dans le sens des X positifs et des Y négatifs. Pour

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les valeurs négatives de x, x 1 devenant imaginaire, iln’y a pas non plus de points de la courbe du côté des Xnégatifs.

Si l’on différentie l’équation, en regardant x commela variable indépendante, on trouve, pour la dérivée,par rapport à y

y'=2X±.

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