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en exprimant, pour abréger, la première dérivée diffé-rentielle

dy

dx

par y.

cette valeur devenant zéro pour x=o, les deux branchesde la courbe sont à l’origine tangentes à l’axe des X(voy. Tangentes). Le point A, qui est commun auxdeux branches de la courbe, est un point de rebrous-sement de deuxième espèce. Voyez Point de rebrous-sement.

a° Supposons que nous voulions construire le lieu del’équation

(a 1 — x 1 ) ( x —6)’ = x'y',

on en tire pour la valeur dey

y

x—b

x

\Za? — x *.

La valeur dey étant affectée du double signe, àchaque valeur de a: correspondront deux valeurs de yégales etdesignes contraires, et par conséquent la courbeaura deux branches.

Prenons AB=J et AC=n. Pour x—o , y —<*>, lesdeux branches de la courbe ne rencontrant l’axe des Yqu’à l’infini, cette droite leur est asymptote (yoy. Asymp-tote). Pour toutes les valeurs de x plus petites que b ,le facteur x — b est négatif, et alors la première valeurdey est négative, et la seconde positive. Les valeursdécroissent a mesure que x augmente, et enfin pourx=b elles deviennent toutes les deux mdles. Les deuxbranches de la courbe passent donc parle point B. Pourx^>l le facteur x— b devenant positif, la première valeurde .y est positive et la seconde négative; c’est-à-dire quela branche de courbe qui se trouvait au-dessous de l’axedes X est passée au-dessus, et que celle qui était au-dessus est passée au-dessous.

Enfin, pour x=a le facteur y/a* — x’ devenantzéro,y=° I e ® d eux branches de la courbe passent par lepoint C. Pour toutes valeurs de x plus grandes que a, lefacteur y/a* —x* devenant imaginaire, il n’y a pas de

point de la courbe au-delà du point C. Le point B , parlequel passent les deux branches de la courbe, s’appellepoint multiple (voyez Point multiple); et la partieBrfGsB est un nœud. Voyez Noeud.

Si maintenant nous donnons àxdes valeurs négatives,la valeur dey devient

y

x-|-i

x

\/a*—x*

pour x=o , y— ao, par conséquent l’axe des Y est en-core asymptote des deux branches de la courbe. A me-sure que la valeur de x augmente, la valeur de y di-minue; enfin pour x=a, y= o, et en ce point les deuxbranches de la courbe coupent l’axe des X. Pour x)>ale facteur y/a*—x* devenant imaginaire, il n’y a pasde point de la courbe au-delà du point D.

Pour savoir s'il y a un point de rebroussement en D,il faudrait différentiel- la valeur de y en regardant Xcomme variable indépendante , et faire ensuite x=adans la valeur de y. Or, on trouverait que dans ce casy = oo, et par conséquent la courbe, en ce point, esttangente à l’axe des Y. Voyez Tangentes .

Si dans l’équation de la courbe on avait a=b, alors ily aurait un point de rebroussement en B. Si a<Cb , onaurait alors un point conjugué (voy. Point conjugue)-Cette courbe est la conchoïdc (voy. CoNcnoÏDE). Voyezles ouvrages de Mac-Laurin , Euler et Carnot.

Newton a fait voir que les courbes peuvent être en-gendrées par des ombres. Si, dit-il, sur un plan infini,éclairé par un point lumineux, on projette les ombresde certaines figures, on aura la projection des courbes-Les ombres des sections coniques seront toujours dessections coniques ; celles des courbes du second ordreseront de cet ordre, et ainsi pour les autres courbes-La projection de l’ombre d’un cercle pouvant engen-drer toutes les sections coniques , de même les cinq p*'raboles divergentes engendreront par leurs ombre*toptes les autres courbes du second ordre. On pourra demême, dans les autres ordres, trouver quelques courbesparmi les plus simples qui, par leur ombre projetée surun plan , pourront engendrer toutes les autres courbe 5du même ordre.

On trouve dans les Mémoires de l’Académie une dé-monstration de ces propriétés, ainsi que des exempt 5de quelques-unes des courbes du second ordre, déter'minées par un plan coupant un solide engendré p» r

mouvement d’une ligne droite indéfiuie sur une parabole

divergente, passant toujours par un point donné a u ‘ 1dessus du plan de cette parabole.

Mac-Laurin , dans son ouvrage intitulé Geomet riAorganica, indique les moyens de décrire plusieurs descourbes du second ordre , surtout celles qui ont ^point multiple, par le mouvement de lignes droites