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d’angles; mais Newton regarde comme un des problèmesles plus difficiles, de décrire d’un mouvement continueelles qui n’ont pas de point multiple.

Lo rsqu’on coupe une surface par un plan , on déter-mine une courbe plane. Les intersections des surfacesdu second degré par une suite de plans parallèles sontdes courbes semblables < t semblablement placées (yoy*Surfaces du second degré). Deux courbes d’un ordre•Quelconque, situées dans le meme plan ou dans desplans parallèles , sont semblables et semblablement pla-c «*s , lorsqu’après avoir pris dans la première un point^ quelconque et mené divers rayons vecteurs OM , ON,

°n peut trouver dans la seconde un point O’ tel que lesr ayons vecteurs O'M’, O'N' menés parallèlement auxPremiers et dirigés dans le même sens, soient avecles premiers dans un rapport constant, c’est-à-dire qu’on

ait

O'M' O'N'

OM ~~ ON ~ '

Les points O et O' sont dits centre de similitude, et»1 suffit de leur existence pour qu’il y eu ait une infinitéd’autres.

Si les rayons vecteurs de la seconde courbe n’étaientpas parallèles à ceux de la première, mais faisaient desangles égaux avec deux droites 0"X et O'X' de directiondifférente, les courbes seraient seulement semblables ,et pour qu’elles fussent semblablement placées, il suffi-rait de faire tourner la seconde courbe autour du pointO d’un espace angulaire égal à l’angle compris entreles deux droites OX et O’X'. Si après ce mouvement ontransportait l a seconde courbe parallèlement à elle-même, de manière à faire coïncider les deux points OO, les deux courbes deviendraient concentriquesquant à le ur ceutle de similitude.

Des conditions de similitude peuvent être expriméesau alytiquement.Supposons queF(x,/)=o ,y')=o

soient les équations de deux courbes rapportées auxmêmes axes. Prenons pour origine des coordonnésdecentre de similitude de la première, et désignons par ae t P les cordonnées du centre de similitude de la seconde.I-^a relation qui doit exister, pour que les deux courbes

soient semblables, est

O'M'

OM ~

Or, à cause des triangles semblables MOP et M'O'P', onaura

x' —x _ O'M' _ v f—p _ O’M'x ~ OM — ^ y ~ OM

on déduit de ces deux équations

x

y

y'-P

K

en substituant, dans l’équation de la première courbe,on obtient

F

(

x'—

"K

a

équation qui devra être identique avec f (x'y')= o. Si ontrouve alors pour a, (3, et K des valeurs réelles et finies,la similitude existera. Cependant K peut être imaginairesans que la similitude cesse d’avoir lieu sous le rapportanalytique, cequiarrive dansles hyperboles conjuguées.Voyez Hyperbole.

Lorsque deux surfaces se pénètrent elles déterminent,par leur interseclion une courbe qui, en général, està double courbure. Si les deux surfaces se traversent,il y aura deux courbes d’intersection ; et si la première,ou courbe d’entrée, est plane, la seconde, ou courbe desortie, sera aussi plane. Si on conçoit qu’un point ma-tériel , retenu par une force normale sur une surfacecourbe, se meuve en vertu d’une force agissant cons-tamment dans une direction différente, il décrira unecourbe qui participera aussi de. la courbure de la surface,et qui, par conséquent, sera à double courbure. Engénéral, les courbes à double courbure sont détermi-nées par les équations des deux surfaces courbes danslesquelles on exprime que les coordonnées sont lesmêmes pour certaines valeurs particulières.

Uue famille de courbes comprend toutes celles quipeuvent être exprimées parla même équation générale.Ainsi a m —*x=y m représente une famille de courbes,dont le degré varie avec m.

Courbe aux approches égales. Voyez Approche.

Une courbe exponentielle est une courbe définie parune équation exponentielle.

Courbe funiculaire. Voy. Chaînette.

Courbe de niveau. Voyez Niveau.

Courbe réfléchissante. Voyez Anaclastique.

Courbe de la plus yite descente. Voyez BbachistO'

CHRÔNE.

COURBURE ( Géom .). On nomme courbure la quan-tité dont un arc de courbe infiniment petit s’écarte de