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la ligne droite. Comme on peut supposer que cet arc in-finiment petit appartient à un cercle, on mesure lacourbure d’une courbe quelconque, en un point donné,par celle du cercle qui lui coïncide en ce point. Or, lacourbure des cercles étant d’autant plus grande que lesrayons sont plus petits, la courbure d’une courbe, àchacun de ses points, est en raison inverse du rayondu cercle coïncident. Le cercle coïncident se nommecercle osculaleur. Voy. Osculateur.

Le rayon du cercle osculateur, à l’aide duquel ondétermine la courbure d’une ligne courbe, en un pointdéterminé, s’appelle rayon de courbure. Nous donneronsau mot osculaleur la déduction de l’expression diffé-rentielle de ce rayon ; ici, nous ne considérerons queses applications particulières.

fx étant une fonction de x, soit y=fx , l’équationd’une courbe quelconque; son rayon de courbure estdonné par l’expression

ïiï (dx'+ dy' y

' '.° dxdy — dyd 1 x

X et y étant considérées comme dépendantes d’uneautre variable.

Si l’on considère x comme une variable indépen-dante, on aura d'x=- o, et cette expression deviendra

ce qui donnerait pour la valeur de p, en se servant del’équation (3),

appliquons ces formules à quelques cas particuliers.

i. Soit la courbe proposée une parabolevulgaire dontl’équation est

y*= 2 px

p exprimant le demi-paramètre.

Dans cette courbe, la normale étant » =y /y*-\rP’tnous aurons, en substituant dans (4) et en ne prenantque le signe -}-

_ Lv’+p'Y

p p'

C’est-à-dire que dans la parabole le rayon de courbureest égal au cube de la normale divisé par le carré dudemi-paramètre.

Ainsi pour avoir le rayon de courbure d’un pointquelconque de la courbe, il suffit de donner à y la va-leur qui correspond à ce point, par exemple, s’il s’a-gissait du sommet de la courbe où l’on a y= o, en don-nant cette valeur à y on aurait

P =

(dx* + dy'Ydxd'y

OU, pour plus de simplicité

(2)

P =

y"

en désignant par y' et y" les dérivées différentiellesdy d}ydx ’ dx 1 '

La valeur de la normale, t=±y\/i-\-y' : ‘ } intro-duites dans (a) ramène l’équation du rayon de cour-bure à la forme très-simple

p=p

ce qui nous apprend que la courbure de la parabole &son sommet, est la môme que celle du cercle décrit avecle demi-paramètre pour rayon.

*. Cherchons maintenant le rayon de courbure de l flcycloïde , courbe dont l’équation est

.r = r.£arc. cos^-~^J— \/y (ai

-y)

r étant le rayon du cercle générateur. Voy. Cycloïd*>En différentiant deux fois de suite, on trouve poef

y et y",

. y/V —

Vy

y

r

y

(3).... P =

qui s’applique au calcul avec facilité.

Pour déterminer le rayon de courbure des courbesdu second degré dont l’équation générale est

y*=ipx-\-qx*

on différentierait deux fois de suite cette équation, afinde déterminer^ et_y , pour lesquelles on trouverait

Y <-P±î? v *_ P*y - y ’ y —vï

et on a de plus

'=V*ry,

valeurs qui, introduites dans l’équation (a), donnerpour p

p=a \/'iry

Mais comme i—\firy , on arrive à cette conséquencetrès-remarquable que dans la cycloïde, le rayoncourbure est double de la normale.

Les équations d’un grand nombre de courbes ^données en fonctions de coordonnées polaires, ^