CO

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nécessaire d’avoir p exprimé eu (onctions des memescoordonnées. Sa valeur est

_ r »f

p a/' 1 —/v" + r' a

1 angle du rayon vecteur avec l’axe étan c pris commevariable indépendante, r étant le rayon vecteur va-lable, et /-'et r", les dérivées différentielles.

La valeur du rayon de courbure variant avec les coor-données de la courbe , pour chaque point de celle-ci ilY a un cercle osculateur différent. Les centres de cescercles déterminent une nouvelle courbe qui est la dé-veloppée de la première et à laquelle les rayons de cour-bure sont tangents. Voy. Développée.

Pour déterminer le rayon de courbure d’une courbea double courbure, on a la relation

v/C

. (&y

+G&

S

La variable indépendante étant l’arc de courbe s quiest déterminé par l’équation différentielle,

d’

Proposons-nous de chercher leu ue helice. L’une des équations

rayon de courburede cette courbe est

(0

z=ararc taug

y -,

x

termine par les rayons de courbure des sections faitesdans la surface par des plans passant par la normale.Parmi ces sections, il y en a toujours deux principalesdont les rayons de courbure, qui portent le nom derayons principaux, sont maximum ou minimum. Lesplans de ces rayons sont perpendiculaires l’un à l’autre.

Pour déterminer le rayon de courbure p d’une sectionnormale quelconque, on a la relation

~= cos’<p-f— sin

R' et R" étant les deux rayons principaux, et <p l’angleque fait la section avec l’une des sections principales.Cette relation a été trouvée par Euler .

Lorsque les deux rayons de courbure principaux sontde même signe, le rayon de courbure p a aussi le mêmesigne; et comme il e.n est de même pour toutes les sec-tions normales, il suit que pour le point que l’on con-sidère, elles sont toutes d’un même côté du plan tan-gent à la surface; on dit alors que la surface est convexeau point M. Le plus petit des deux rayons principauxest un minimum , et l’autre un maximum.

Si R'=R", alors p=R', ce qui prouve que toutes lessections normales ont même courbure, et quel’une quel-conque d’entr’elles peut être prise comme section prin-cipale. C’est ce qui a lieu pour tous les points d’unesphère, et dans une ellipsoïde de révolution, pour lesdeux points qui sont sur l’axe.

L’axe des Z est l’axe du cylindre sur lequel est tracél’hélice, et l’origine des coordonnées est à un des pointsde la surface du cylindre, /-est le rayon du cercle gé-nérateur du cylindre; a=tang 9; 0 étant l’angle d’in-clinaison de la droite engendrant l’hélice avec le plandes XY, qui est perpendiculaire à l’axe des Z.

La seconde équation de l’hélice est

( 2 ),... ,x i -\-y ï =r a :

équation de la projection du cercle générateur du cy-lindre sur le plan des XY.

Ln différentiant deux fois de suite les équations ( 1 )

et ( a ), regardant s comme la variable indépendante, ontrouve

___ —x dy — Y d * z_^17+ a*)' ds 1 ~ r 1- [T+ n 1 ) 1 ds* ~°’

portant ces valeurs dans celle dep, on obtient

p=/’(i-)-a i )=rp sec’p

ce qui indique que dans l’hélice le rayon de courbure

est constant.

La courbure des surfaces en un point donné se dé-

Si R' est positif et R" négatif, la surface sera non-convexe, puisqu’il y aura des sections normales au-dessusdu plan tangent et d’autres au-dessous. R' sera un mi-nimum ; et —R" un maximum analytique seulement parrapport aux rayons négatifs.

Le théorème de Meusnier donne les moyens de cal -culer le rayon de courbure p', d’une section obliquequelconque, puisqu’il démontre qu’il est égal à la pro-jection sur son plan du rayon de courbure p de la sec-tion normale passant par la même tangente. Relationexprimée par l’équation.

p'=p cos il.

m étant l’angle compris entre les plans des deux sec-tions.

Ces différentes formules ne subsistent que lorsque leplan tangent à la surface au point que l’on considère,est pris pour plan des XY ; pour calculer ces rayonsdans le cas général ; il faut avoir recours aux lignes decourbure.

On appelle lignes de courbure d’une surface, la suitedes points par lesquels deux normales consécutives *erencontrent. Sur toute surface, il existe deux séries de