eu

sont elles-mêincsdes quantités réelles j ainsi la premièreracine, qui se compose seulement de la somme de cesQuantités, est réelle. Quant aux deux autres racines,elles sont évidemment imaginaires , puisque le produitdes quantités réelle* par des quantités imaginaires nePeut être qu’ imaginaire.

Dans le second cas le radical carré devenant zéro,^es deux radicaux cubes sont réels, et la première ra-cine seule est encore réelle.

Dans le troisième cas -V -1- — étant négatif, ce qui4 1 27

„3

Hepeut arriverqu’autantque — est négirtifet plus grandque -L. s l e radical carré, et par suite, les deux radicaux

4

cubes sont des quantités compliquées d’imaginaires , cequi donne aux trois racines une forme imaginaire ; cecas singulier a été examiné à l’article Cas irréductible.

Lo rsqu’il n’y a qu’une seule racine réelle, on peut en-core se servir des fonctions ti igonométriques avec succès,pour calculer sa valeur plus promptement qu’en réali-santles extractions de racines indiquées dans les formules.En effet , nous pouvons poser en général

— = A. tang ?

,J 7

A- étant une quantité quelconque et ? un arc déterminéPar la relation

P*

tang^^-.

Ainsi, pour rendre la quantité sous le radical carréUn carré parfait, il suffit de faire

p 3 o 1

~ = A- tang a ?

27 4 ü

car alors cette quantité devient

?+£= 4 + ? tan *’*’

CU 409

r^sV+sm^)-] = _q_ V{c0 ^ +Ûü ^v L 4 cos 1 ? J 2 C 0 S? VV r ~

2 COS ?

à cause de cos a p -|-sin = i.

Ainsi la première racine prend la forme

* = ^r_î + _.î_i + /r_ 2 —sl_i

X V L 2 X 2COsÿJ^ V L 2 2 COS ^j

Mais la relation

donne

p 3 <7 2

-t— = tang’<p

27 4

V E -

q _ ^7

2 tang ?

Substituant cette valeur dans celle de x , on obtient,après les réductions,

x— — 2 C0t2 u.\/ ^

l’arc u étant donné par la relation

tang » = y/tang-j?et l’angle ? par la relation

2 » / ptang t=-y ~

te

qu on peut mettre sous la forme

Si q était négatif, la valeur de x deviendrait positiveet l’on aurait

X = 2 COt 2<a \/^

Dans le cas de p négatif, ou de l’équatioux z — px-\-q = o

une marche semblable à celle que nous venons de suivrenous conduirait aux trois équations

2 . p 3

soi ? = V ~

q *7

i _

tang a — \/taug

OU

q' q % sin a <p4 ~ 4 co 2 ’?

«y 1 cos a ? -J- q 1 sin a ?4 cos a ?

x —

■~~V E >

sin 2 u r 5

dont la troisième devient

-s/P

SI 11 2 et

— v

f» AA V

plaçant tang pour ^ qui lui est égal.

en rem

De radical carré devient donc

lorsque q est négatif, il est bien entendu que dans ce»dernières expressions on a