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duitcpar le géomètre anglais Oughlred, facilite extrê-mement les calculs, et on peut voir aux articles addition,

SOUSTRACTION , MULTIPLICATION , DIVISION , EXTRACTIONDES RACINES , et ELEVATION AUX PUISSANCES qu’on exécute

sur ces fractions toutes les opérations de l’arithmétiqueavec autant de facilité que sur les nombres entiers.

• On réduit une fraction ordinaire en fraction décimale,en divisant son numérateur par son dénominateur,après avoir ajouté préalablement autant de zéros à lagauche des chiffres du numérateur qu’il en est besoinpour que l’opération se fasse exactement, ou pour ob-tenir une approximation suffisante, si la fraction ordi-naire ne peut s’exprimer exactement par une fractiondécimale. Pour réduire-J, par exemple, en fraction dé-cimale, il faut ajouterdeux zéros, et l’on a

alors le dividende ayant été rendu cent fois plus grand ,le quotient est également cent fois trop grand; ainsi, aulieu d'exprimer 7 5 unités, il ne doit exprimer qu’unequantité cent fois plus petite, c’est-à-dire ou o,q 5 ;on a donc

3 , ' ”

-=o , 7 5

DE

„ . N

Î5 ° lt jyj «ne fraction ordinaire quelconque, et

soient a y b, c, d, e, etc,, les chiffres décimaux quidonnent

N %

-jj—=«• i o—'-f-o. i o— 1 -!- c. i o- i o -‘•-{-etc. .

nous avons N<M, et il s’agit de déterminer a, b,c-d, etc.

Multipliant les deux membres de cette égalité par io,elle devient

N.io . , , , , , , ,

-jj— =a-|-o.io—*-J-c. io —a 4-«. io—etc.

Alors a exprime des entiers, et b devient le premierchiffre décimal ou le chiffre des dixièmes. Nous avonsdonc, en désignant par N'le reste de la division deN. io parM

N.io ^ _ 7 ,

M

c’est-à-dire,

N' _ N'

M ~ a + M

et par conséquent,

S’il s’agissait de la fraction ordinaire quel que soitle nombre des zéros qu’on ajoutât à 5 , il serait impos-sible d’effectuer exactement la division par 7 , et dansce cas, on ne peut obtenir qu’une fraction décimale ap-proximative; ainsi, en ajoutant i, 2, 3 , 4 , 5 , etc., zéro,et divisant sans tenir compte du dernier reste, on a

5 o

7

5 oo

T

5

= 71 ou — = 0,71

5 ooo

~ï~

714

5 oooo 5

-= 7142 ou - = 0,7142

7 7

Ce que l’on pourrait continuer à l’infini, parce qu’aprèsavoir trouvé 6 chiffres au quotient, le dernier resteest de nouveau 5 , et la même période de 6 chiffres re-commence; de sorte que l’on a5

- —0,714285 714285 714^85 etc.à l’infini.

La fraction décimale prend alors le nom d g fractionpériodique. Voy. Périodique.

Le problème de réduire une fraction ordinaire enfraction décimale, peut être généralisé de la manièresuivante.

PT

M

=b. 1 o - ‘-j-c. 1 o 1 o— 3 -f- «le.

Multipliant de nouveau les deux membres de cette éga-lité par 10, elle devient

N'.ioM :

-à-j-c. 10—io—’-j-e. 10— 3 -j-etc.

ou

N^.io

M

=b, reste N"

en désignant par N", le reste de la division deN'- 10pour M. On a donc aussi

et

N'. 10M

N"

M

N"

M

=c. 1 o—’-f-r/. 1 o - ’-f-e. 1 o— 3 -j-etc....

et ainsi de suite; d’où il est facile de conclure la i v gl e

suivante : Multipliez le numérateur par 10, et divise*

le produit par le dénominateur, le quotient sera

premier chiffre décimal ouïe chiffre des dixièmes ; n» u

tipliez ensuite par 10 le reste de la division, et divise^

ce second produit par le dénominateur, le quoti

sera le second chiffre décimal ou le-chiffre des centiè' n ■

1 et d*

multiplie* de nouveau par 10, le second reste,