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DE
T > K
Nous donne» ouste nom de base à la droite MQ intersec-tion commune des deux plans.
6. Le but des projections est de représenter par desfigures faites sur un seul plan, et n’ayant par conséquentque deux dimensions, tout ce qui concerne l’étendueayant deux ou trois dimensions. Pour cet effet, on con-sidère le plan vertical comme ne faisant qu’un avec leplan horizontal, en supposant que le vertical , tournantautour de la base comme charnière, ait fait un quartde conversion pour ne plus former qu’un seul plan avecl’horizontal. En vertu de ce mouvement, toute droitesituée sur le plan vertical et perpendiculaire à la base,restera perpendiculaire à cette base après que la conver-sion aura été achevée, et la projection verticale d’unpoint quelconque se trouvera sur le prolongement dela perpendiculaire menée de sa projection horizontaleà la base, car le plan MP prenant la position MF' , lesperpendiculaires Ex et Fx ne font plus qu’une seule etmôme droite perpendiculaire à la base MQ.
Ceci posé, nous allons donner les propositions fonda-mentales de la géométrie descriptive.
y. On nomme traces d’un plan quelconque lesdeuxin-tersections qu’il fait avec les deux plans fixes, lorsqu’onle prolonge suffisamment pour qu’il les rencontre. Onnomme de même traces d’une ligne les points O et I( fîg. ci-dessus), où cette ligne, prolongée s’il est besoin,rencontre les plans fixes.
8 . Les deux projections d’une droite étant données,déterminer ses traces sur les deux plans fixes, c’est-à-dire, les points où elle traverse le plan horizontal et leplan vertical.
TE o
Soit ab la projection verticale, et «7/ la projection
horizontale. Prolongez ces projectionsjusqu’à cequ’ellesrencontrent la base, la première en E et la seconde enC, et deces points menez les pcrpcndicuJaircsEDetCOà la base, dont la première rencontre en D le prolonge-ment de la projection a’b ', ctdont la seconde rencontreen O le prolongement de la projection ab, les points Det O, ainsi déterminés, seront les traces demandées.
Eu effet, CD et EO sont les projections d’une droiteOD, qui contient comme une de ses parties la droitedont ab, a'b' sont les projections. Or, cette ligne ODdevant se trouver sur l’intersection de deux plans dif-férons, l’un OCD mené par CD, et perpendiculaire auplan horizontal, et l’autre OED, mené par OE, et per-pendiculaire au plan vertical, passe nécessairement d’uncôté par l’intersection des droites CO et CE, et del’autre par l’intersection des droites ED et OE; puis-que CD perpendiculaire à CO, se trouve sur le planperpendiculaire mené selon CO , et que ED perpendi-culaire à OE se trouve sur le plan perpendiculaire menéselon OE; ainsi ces intersections, ou les points O et D,sont les traces de la droite OD, et conséquemment dela droite dont ab et a'b' sont les projections.
9 . Si la droite OD était parallèle au plan horizontal,sa projection horizontale CD pourrait bien faire avecla base MQ un angle quelconque. Mais sa projectionverticale serait alors parallèle à la base, et il n’y auraitpoint de trace horizontale D. On déterminerait commeci-dessus la trace verticale O.
10 . Réciproquement, si la droite OD était parallèleau plan vertical, il n’y aurait point de trace verticale;sa projection horizontale serait parallèle à la base, etl’on déterminerait seulement le trace horizontale D.
11 . Les projections d'une droite étant données, dé-terminer les projections d’un autre droite parallèle dla première , et assujétie a passer par un point dont l eSprojections sont également données.
Les projections horizontales de la droite donnée etde la droite cherchée, doiventêtre parallèles entre elles»puisqu’elles sont les intersections de deux plans p cr "pendiculaircs au plan horizontal, et par conséquentparallèles entre eux.Par la même raison , les projectionsverticales doiventêtre aussi parallèles entre elles. Doncen menant parles projections du point, des ligues P a ',rallèles anx projections de la droite donnée, ces parailèles seront les projections demandées.
ia. Déterminer la longueur d'une droite dont les pr°jeelions sont connues.
Si la droite est parallèle à l’un des plans, ce que 1 ° nconnait lorsque sa projection sur ce plan est parallèl eà la base , elle est égale à cette projection. Si elle n ^parallèle à aucun des deux plans, elle est plus g ran
de
le
que chacune de scs projections. Dans c.e dernier cas ,menant du point A (fg. du n° 4 ci-dessus'' ladio'