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A.D parallèle à la projection horizontale a'b’ on, ceqth est la même chose , perpendiculaire sur B b', onaura un triangle rectangle ABD dont la droite AB est1 ùypothénuse,ctdontlesdeux autres côtés sontAD=:a'ù'et BD=Bù’—A a', mais la projection ad de AD sur leplan vertical détermine ù<7=BD, et cette projections obtient en menant ad parallèle à la base; ainsi les deuxcotés de l’angle droit du triangle rectangle ABD sontdonnés par les projections, et il suffit de construire ceh'iangle pour obtenir l’hvpothénuse ou la longueur de-mandée de la droite AB.

Ainsi ab, a b' étant les projections données, du point a° n abaissera sur bb' la perpendiculaire ac sur laquelleprendra de c en o , co=a'b', on mènera bo et cetted, oite sera égale à celle dont les projections sontah et a'b'.

*3. Connaissant les projections d'une droite, trouver

a »gles qu'elle fait avec chacun des deux plansfixes.

o

Si ab et a'b’ sont les projections donmes, on détci«doera (8) les traces o et ri, et alors l’angle odC seral’angle fait par la droite avec le plan horizontal,et l’angle rfoE, l’angle fait par la même droite avec cplan vertical. Ces angles appartiennent aux trianf esrectangles oCd et dEo que l’on peut supposer en ,c-renv.v.t connus, puisqu’on a leurs hases Co et e

leurs hauteurs C d et oE. 11 suffit donc de construire cestriangles pour obtenir lesanglesdemandés. Ainsi, prenantED = E d et CO = Co, on mènera les droites oD et dOdont la première fera connaître l’angle COd égal àl’angle de la droite avec le plan horizontal et la se-conde , l’angle oDE égal à l’angle de la droite avec leplan vertical.

i4* Connaissant les projections de trois points quel-conques , trouver les traces du plan qui passe par cestrois points.

Soient a, b, clés projections verticales, et,a’, b', c',les projections horizontales données; menons les droitesa'b', b'c', ab et oc; et prolongeons-les jusqu’à leurs pointsde rencontre respectifs m, n, o, p avec la base; despoints o et p élevons, à la base, des perpendicu-laires cA et pli jusqu’aux points A et B où ellesrencontrent les droites ab et ic; élevons de mêmedes points n et m les perpendiculaires nC et m Djusqu’aux points C et D où elles rencontrent les droitesa'b' et b’c' ; les droites AB et CD seront les traces de-mandées, lesquelles, prolongées, auront un point com-mun E d’intersection où le plan proposé coupe la base.

En effet, ab et a'b' sont les projections d’une droitemenée dans le plan proposé par les points dont a et a',b et b', sont les projections, et d’après la constructionA et D sont les traces de cette droite; de même bc et b’csont les piojections d’une seconde droite menée dansle plan proposé par les points dont b et b', c et c' sontles projections, et également d’aprèsla construction C et Bsont les traces de cette seconde droite. Or, le plan pro-posé coupe donc le plan horizontal aux points A et Bet le plan vertical aux points C et D; ses intersectionsavec ces plans ont donc lieu suivant les droites AB etCD, et par conséquent AB et CD sont ses traces.

1 5. Les traces d un plan étant données ainsi que lesprojections d'un point situé hors de ce plan, trouver lestraces d’un second plan parallèle au premier, et quipasse par ce point.

Soient MN et NP , les traces du plan, et a et a' lesprojections du point. Par le point a menons «A paral-lèle à la base , et nB parallèle à la trace verticale MN,jusqu’à sa rencontre en B avec la base. Par le point «'.