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menons également a 'C parallèle à la base , et a D paral-lèle à la trace horizontale NP. Aux deux points B et D,élevons les perpendiculaires à la base BC et DA jusqu’àla rencontre des parallèles ak et a C, et par les pointsA et C, menons les droites AO et CO parallèles auxtraces données, ces parallèles seront les traces de-mandées.

En effet, les points A et C sont les traces d’une droitedont la projection verticale est aB et dont la projectionhorizontale est a'C,. Or, cette droite est parallèle au plandonné, puisque sa projection verticale aB est parallèleà la trace verticale de ce plan, et par conséquent, elleest contenue dans le plan cherché puisqu’elle passe parle point dont les projections sont a et a'. Ainsi ce plancoupe le plan vertical au point A et le plan horizontalau pointC, et ces points sont situés sur ses traces;mais les traces de deux plans parallèles sont nécessaire-ment parallèles. Ainsi, il suffit de connaître un seulpoint de chaque trace du second plan pour les dé-terminer, et ces traces sont les droites AO et CO qui,par la nature du problème , doivent se couper à la baseen un même point O.

16. Etant données , les traces PB et BC d’un plan etles projections a et a! d'un point , construire i° les pro-jections de la droite abaissée perpendiculairement dupoint sur le plan ; 2° les projections du point de ren-contre de la droite et du plan.

Des points a et a' menons les perpendiculaires am eta n sur les traces BP et BC; ces perpendiculaires serontles projections de la droite demandée. Car si l’on con-çoit un plan vertical mené par cette droite, ce plancoupera le plan donné et le plan horizontal en deuxdroites qui seront l’une et l’autre perpendiculaires à la

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commune intersection BC de ces plans , et dont la pre-mière sera la projection du plan vertical, et en même

temps la projection de la droite; ainsi cette projectiondevant passer par le point a! et être perpendiculaire àBC, sera a’n.

On démontre de la même manière que am est laprojection verticale.

Pour déterminer le point de rencontre, on doit re-marquer que ce point se trouve nécessairement surl’in-tersection du plan donné par le plan vertical mené sui-vant la droite cherchée, intersection dont a'q estla pro-jection horizontale. Or, si l’on avait la projection verti-cale P t de cette intersection , elle contiendrait celle dupoint demandé, et comme de plus, ce point doit aussise trouver projeté sur la perpendiculaire am, il seraitau point de rencontre r, de Pi et de am. Mais l’intersec-tion dont il s’agit, rencontre le plan horizontal en n,dont on aura la projection verticale t , en menant nt per-pendiculaire à la base; et comme elle rencontre le planvertical de projection en un point dont la projection ho-rizontale est q , rencontre de la base avec a'n prolongée,s’il est nécessaire, et dont la projection verticale doitse trouver en même temps sur la perpendiculaire qV etsur la trace PB, c’est-à-dire au point de rencontre P deces droites, on aura donc la projection verticale de l’in-tersection en joignant par une droite les points P et t-Cette projection étant connue, il suffit de prolonger arnjusqu’à/’ pour obtenir la projection verticale demandéedu point de rencontre; quant à la projection horizon-tale du même point, comme elle doit se trouver enmême temps sur le prolongement de la perpendicu-laire menée de r à la base et sur a'q , en abaissant cetteperpendiculaire, on la déterminera en s.

17. Étant données les projections d’une droite etcelles d’un point , construire les traces d’un plan nienepar le point perpendiculairement à la droite.

Soient AB, ab les projections de la droite et D, d cell®du point. Par le point d, menons la droite indéfinie^parallèle à la base, et par le point D , la droiteperpendiculaire à la projection horizontale AB, jusquce qu’elle coupe la base en II. Au point H, élevons