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construire ce ■triangle, et conséquemment pour connaître1 angle cherché.Or, la hauteur du triangle est la perpen-diculaire abaissée du point I sur l’intersection des plansproposés et elle est comprise dans le plan vertical menépar Ef. Si l’on conçoit donc que ce plan vertical soitabattu sur le plan vertical de projection après avoirtourné autour de_/e, et quel’on prenneyi==/ïetE/==/b,le point I se trouvera en i, le point E en o, et l’inter-section en eo. Ainsi du point i, menant sur eo , la per-pendiculaire ik , elle sera la hauteur du triangle ; ilsuffit donc de porter cette hauteur de I en K pourachever ce triangle et consl ruire l’angle demandé GKH.

20. Les projections de deux droites qui se coupentdans Fespace étant données , construire F angle quellesforment.

Soient AC et AB les projections horizontales et ac etab les projections verticales. Par le procédé du n°8,déterminons d’abord les traces horizontales E et D desdeux droites et menons DE. Cette droite sera la based’un triangle dont les partiesdes droites proposées com-prises entre leurs traces et leur point de rencontre,seront les autres côtés. Il ne s’agit donc que de déter-miner les longueurs de ces parties , pour pouvoir cons-truire le triangle et conséquemment résoudre le pro-blème. Or, il se présente un moyen plus simple pourarriver à cette solution : du point A menons sur ED laperpendiculaire indéfinie AF; joignons les points a et A,et portons AF de G euf-, tirons la droite af, et prenonsF H=/!/■. Du point II, menons enfin IID et IIE; l’angleEHD sera l’angle demande.

En effet, la droite aAcst perpendiculaire à la base,puisquelcs droites proposées devant se couper, lepoiut aest la projection verticale de leur point de rencontre ctlepoint A la projection horizon talc de ce même point( 5 ).Or,Al' est la projection horizontale de la hauteur du triangledont ED est la base , et dont les deux aunes côtés sontles portions des droites proposées, comprises c.otrÿ

leur point de rencontre et leurs traces EctD, car sil’on conçoit un plan vertical mené par la perpendicu-laire abaissée du sommet de ce triangle sur sa base. ceplan passera nécessairement par le point A, et sa tracesera AF. Mais A est la projection horizontale de cettehauteur, dont une des extrémités est F, et dont l’autrese trouve élevée au-dessus du plan horizontal d’unehauteur verticale égale à «G; elle est donc égale à l’hv-pothénuse d’uu triangle rectangle a&f ayant a G etG/==AF pour côtés de l’angle droit. De plus , la hau-teur du triangle, si l’on suppose son plan abattu sur leplan horizontal, en tournant autour de ED, devantprendre la direction de AF, il faut donc prendre surcette direction FH=q/', et le triangle se trouve construiten menant HE et HD.

21. Connaissant les projections (Fune droite et lestraces d'un plan, construire l’angle que la droite formeavec le plan.

Cette question se ramène facilement à la précédente ,car si l’on imagine que par un point quelconque de ladroite, on abaisse une perpendiculaire au plan, l’anglede cette dioite avec la perpendiculaire sera le complé-ment de l’angle cherché, et il suffira de le construirepour résoudre le problème. Mais d’après le n° 16, sil’on prend deux points sur les projections données quisoient sur la même perpendiculaire à la base et que deces points, on élève des perpendiculaires aux traces res-pectives du plan donné, on aura les projections hori-zontales et verticales de la perpendiculaire au plan, etil ne s’agira plus que de construire l’angle formé pardeux droites dont on connaît les projections, ce quis’exécutera par les procédés du numéro précédent.

22. Étant donné l’angle de deux droites qui secoupent dans F espace ainsi que les angles qu'elles for-ment Fune et F autre avec le plan horizontal, construirela projection horizontale du premier de ces angles.

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