m

DI

DI

nous aurons

î£a? * j = dy

Mais en prenant les logarithmes naturels des deuxmembres de la première égalité, nous avons

fX.La=I>x

ce qui nous donne en différentiant

Ainsi

La.dtpX—dLy=

dy

y

dy—yXta.d^x

et par conséquent, en substituant les valeurs ci-dessusde dy et d ey ,

d

= a? x .La.dfX

x d’une même quantité z. Or, z étant considéré commel'accroissement de-r, nous avons en général

AFx=F(x-)-z)—Fx

d’où

F(jr-|-s)=Fjr-(-AFj?

faisant successivement dans cette relation généralex=x+z, x—x-\-' 2 z, x=x-f-3z , etc., et substituantles unes dans les autres les valeurs que donne cettemême relation , nous obtiendrons la suite d’expressions

F(x-f- z)=Fx-j-AFx

F; x-}- 2 z)= F(x-|-az)-|-AF|'x-)-az}= Fx+aAFx-J-A’FxF(x-|-3z =F(x-j-az)-}-AF(x-|-az)=Fx-|-3AFx-J-

-j-3A i Fx-|-A :i Fxetc. etc. etc.

et en général (g)

33.Pourobtenirles différentielles des fonctions trigo-nométriques sia x et cos x, nous pourrions partir desexpressions théoriques de ces fonctions (voy. Sinus),mais il se présente un moyen plus simple de les obtenirimmédiatement. Nous avons généralement ( 7 )

djX—f[x-{-dx)—fX

Ainsi

d sin x = sin (x-] -dx) —sin xor

sin(x-f-^?x)=siu x. cosr/x-|-cosx.sinf/x

donc

F(x-)-»iz)=Fx4-niAFx-|- ■— A*Fx -f-

1.2

, m(m — 1 ) (ni —a) .

H---- L A 3 bx-f etc...

1 1 . a 3 1

ce qu’on peut démontrer eu suivant la marche employépour la loi du numéro j3.

Maintenant, j etant un multiple exact de zégal a ris,

y

on a m = - , c t substituant celle valeur dans (g), on

obtient (/<)

F(x-J-/)r= Fx +"p

AFx y (y—z)

a ' 1 .a

A’Fx .

~ï~ +

d sin x=sinx. cosr/x-j-cosx.sinx

Or, dx étant une quantité infiuiment petitesin <fx=sinx et cos dx= 1 (voy . Sinus), par conséquent

d sinx.=cosx.t/xOn trouverait delà même manière

d cosx = —sinx. dx

A l’aide des différentielles précédentes, on peut con-struire sans aucune difficulté celles de toutes les fonctionscomposées, nous ne nous y arrêterons donc point, etnous passerons immédiatement aux applications les plusimportantes du calcul des différences.

34- Le grand but du calcul des différences finies ouindéfinies-, étant d obtenir la génération d’une fonctionquelconque, p ir le moyen de ses accroissemens, dési-gnons par Fx une telle fonction , «examinons ce qu’elledevient lorsqu’on augmente successivement la variable

+zk=^y=i +etc

1 . a. 3 z 3 1

Mais le nombre des termes de cette expression est d’au-tant plus grand que la quantité z qui est sous-multipl®de J" est plus petite; lors donc que cet accroissement estinfiniment petit, et alors , il peut toujours être con-sidéré comme un sous-multiple exact de y, le nombredes termes de (/») devient infiniment grand. Dans ce <as,les différences deviennent des différentielles, s t * 1simplement dx, et l’expression (/») devient U)

F (*+.r)= Fj? +

y d Fx1 ' dx '

J 1 d'Yx1 .-a" dx‘ '

+

■r 3

1 .a. 3

e/ 3 Fx

^3 + etc...

Telle est la génération la fonction F(x-f-J")- ^ ^ce qu’on nomme 1 c. ihéorbmr dr Taylor.

35. Pouràpphqiier ce théorème à la génération d ••