1)1
DI
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action déterminée , on voit aisément qu'il suffit desavoir trouver les différentielles successives de cettefonction, ce qu’on peut toujours faire par les règlesdonnées ci-dessus. Soit en effet F(x-j-,/)=(.r-[-,/)' M , nousaurons Fx=x m , et par conséquent
il F x=d ]x m '\—mx m -'dx
d , Fx=d t [x" l ]=d[mx’ n — l dx'\—m{m — \)x m — , dx*d , Fx~d 3 [x m ] =d[m(m — i )x m —'dx]=
=m(rn —i)(«— ‘i)x m — 3 dx 3eic. = etc. = etc.
cf'L(i4-x)=cf !+■*)“'-doc
rf 3 L(i +*)= d | — —jpj =+a(i-hr)- 3 .At? 3
= + 2
dx 3
'(«+*?dx 3
</ 4 L(i-}-x)=fl [2.
la quantité dx étant considérée comme constante.
Substituant toutes ces valeurs dans le théorème (i),on obtient.
(• x +y) m =x m -\-mx m —y-\- xn-y’-i-
m(m —i )(m —’i)
1 . 2.3
X m ~ ^-j-etC. . .
ou la formule de Newton, qui se trouve ainsi démontréePour un exposant quelconque m.
36 . Si dans le théorème ( i), on fait x=o, on a, endésignant cette circonstance par un point placé sur xdans Fx,
F(j-) = Fi:+^
dFjc . .
dx ' i. 2' dx 1
y 3 d 3 Fx . ,
+ ~dx 3 "^ r elC "‘
changeant,/ en r, on a définitivement (A)
„ . . x d Fi x» rè* Fi?F (*)= I x + r .- sr +—- 3ï7 +
x 3 d 3 Fx .
+ 7Z3- l^ + etc '-
, dx 3
~ 2 ’ 3 ’(.+x) 4
etc.... etc...
et en général
dx***
d m L{ i+x) =2.3.4... ( m ~ 3 J-yyyrr • (- 1 V”-
faisant dans toutes ces expressions x=o, et les substi-tuant ensuite dans (A) on obtient
r , , \ - . x X* , x 3 j? 4 . x 5
L(t+x) = Li-j-— -3- j+ 5 etc.
ou seulement
L(.+^=,
X % X 3 x 3 , x s
•r°
6 ~+ etc...
à cause de Li=o.
Soit actuellement Fx=sin{/j-j-x), nous trouveronspour les différentielles successives
d sin(,a-|-j:)=cos(a-}-x)/te
r/ , sin(a-l-x)=(/[ cos(a-}-x).i 5 ?x J=—sin(a-j-x).rfx*rf 3 sin(rt+x)=rf[—sin(«+x)Æ{? a ]=—cos(a-f-x) .dx 3rf 4 sin(n-|-x)—<4—cos (<z-j-xyx 3 ]=-|-sin (a-|-.r),<Ar 4
formule connue sous le nom de théorème de Maclaurin ,et dont on a revendiqué dernièrement la propriété enfaveur de Stirling.
Nous avons déjà donné une déduction de cette for-mule par la méthode des coefjiciens indéterminés.
3 ?. Éclaircissons l’usage de ces formules par quelquesexemples. SoitFx=L(i-f-x), la caractéristique L dési-fî 1 antle logarithme naturel de (i-j-x). Nous aurons lesdifférentielles successives de la ( 1 -f-x)en faisant d’abord,
d’après ( 3 1)
et ensuite
et ainsi de suite.
Faisant dans ces valeurs x=o et substituant dans (A)on a
X jc *
sin (a+x) = sin a-f- cos a.— -sin a. —-
x 3
— cos a.- -j + etc....
1.2.3
si l’on fait a=o , on a sin 0=0, cos 0=1, et le dévelop-pement devient
x 3
sin x—x ■
x r -
1.2.3 1.2. 3 .4 .5 1.2. 3 .4. 5 .7
-J-etc..
On trouverait de la même manière pour cos x, l’ex-pression