DI

ÜW

DI

X*

cos æ= i —-

I .2

4 i.2.3.4-5.6

,- 5 +etc.

38. Nous avons jusqu’ici considéré la variable x delàfonction générale yx comme une variable indépen-dante , c’èst-à-diie comme une variable qu’oh peut dé-terminer à volonté; mais il peut se présenter le cas oùcette quantité est elle-même fonction d’une autre va-riable, des accroissemens desquels les siens dépendent;par exemple, x peut être une fonction quelconquede z, et l’on peut avoir besoin de connaître Immédia-temeut l’accroissement de yx correspondant à celui dez, ou la différentielle de yx en fonction immédiate de dz.Pour mieux faire comprendre cette particularité, sup-posons

yx=ax‘‘ et x=bz

Or, lorsque la dérivée différentielte CTune fonctionest connue, on obtient immédiatement sa différentielle,car de l’équation générale

d m px

dx m ^ ’

on tire

d m px = X.rfr m .

Ayant donc la fonction px dans laquelle x=^z , ce quirerient à

T\ T -V

si nous parvenons à trouver la dérivée

dp(^>z) dpx

dz ° U HT'

en éliminant x entre ces deux équations, on obtientyx=ab*z *

dont la différentielle, en faisant varier z, estdyx=iab x zdz

Or, cette élimination peutsouvent devenir très- com-pliquée, et il est toujours facile d’obtenir immédiate-ment la différentielle de yx en fouctiou de la variableindépendante z.

Pour cet effet, remarquons que la différentielle d’unefonction quelconque yx est toujours de la forme M dx,c’est-à-dire qu’on a en général

dyx=Mdx

nous aurons en même temps la différentielle de px enfonction de la différentielle dz de la variable indépen-dante z.

Mais si nous désignons par M la dérivée de px, etpar N celle de -pz , nous aurons

dpx dipz

—=M, et — i— = Ndx dz

d’où

dpx

dx

IIZ

Or, à cause de x=^z, on a dx=d-pz, reiranchant doncle facteur commun aux deux termes de la fraction, ilreste

x étant considérée comme variable indépendante, etM étant une quantité dans laquelle x peut ou non setrouver, selon que dans yx , il entre ou n’entre pas des et conséquemmentpuissances de x. Or, en divisant l’équation précédentepar dx, on a

dpx _

dz

M.N,

dpx = M.N .dz,

dyx

dx

= M

et M est ce qu’on nomme là dérivée différentielle deyx.

Ainsi, dans le cas ou px serait a -f- bx -J- ex », nousaurions

dpx = bdx + a cxdx= (i -f- a cx)dx

et, par conséquent,

dpx , ,

~^-=b+icx.

ce qui nous apprend que pour obtenir la différentiellede px, par rapport à la variable indépen Jante z, il fautprendre le produit des dérivées de px et -pz et le mul-tiplier par dz. Appliquons d’abord cette règle à l’exent"pie donné ci-dessus dans lequel

px = ax x et x — bz

b-\- 1 cx serait la dérivée différentielle de px.d'px .

De même est la seconde dérivée différentiellede px , et ainsi de suite.

on a

d’où

ainsi

dpx = a axdx, et dx = bdz

dpx

dpx _ dpx

dz dx

dx ,et- t ■= bdz

dx .-y- — labx,dz

et définitivement